69. Среднее геометрическое и среднее арифметическое двух отрезков

Определения и обозначения

Среднее арифметическое двух отрезков — отрезок длиной (a + b) / 2, где a и b — длины исходных отрезков. Сначала длины складывают, затем сумму делят пополам. Такая величина показывает середину между двумя длинами и помогает заменить их одной общей длиной.

Среднее геометрическое двух отрезков — отрезок длиной √(ab), если a и b положительны. Под корнем находится произведение длин, а результат снова выражает длину. Эта величина нужна, когда в задаче возникает произведение двух отрезков или требуется построить отрезок, связанный с пропорцией.

Среднее пропорциональное — величина x, для которой a:x = x:b. По свойству пропорции произведение крайних членов равно произведению средних: ab = x². Так как x — положительная длина, получаем x = √(ab), то есть среднее пропорциональное совпадает со средним геометрическим.

Равенство средних — случай, когда среднее арифметическое и среднее геометрическое имеют одну длину. Для положительных a и b это происходит при a = b: тогда полусумма и корень из произведения равны каждой из исходных длин. Это условие важно при сравнении двух средних.

Как это устроено

Чтобы получить среднее арифметическое, отрезки мысленно располагают последовательно и складывают их длины: получается отрезок длиной a + b. Его половина имеет длину (a + b) / 2, поэтому деление на два не случайная часть формулы, а способ взять половину общей длины. Например, если длины различны, средняя величина оказывается между ними, а не равна всей сумме. Такой отрезок представляет обе исходные длины одним числом.

Среднее геометрическое возникает из пропорции a:x = x:b, в которой x занимает среднее место между a и b. Перемножая крайние и средние члены пропорции, получаем ab = x². Поскольку речь идёт о длине, выбирают положительное решение уравнения: x = √(ab). Поэтому произведение длин нужно извлечь из-под квадратного корня, а не складывать квадратные корни отдельно.

Для построения среднего геометрического сначала откладывают на одной прямой рядом два отрезка длиной a и b. Их общая длина становится диаметром полукруга; в точке соединения отрезков проводят перпендикуляр к диаметру до пересечения с дугой. Диаметр вместе с этой точкой на дуге образует прямоугольный треугольник, потому что вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Проведённый перпендикуляр — высота к его гипотенузе.

Почему эта высота имеет нужную длину, объясняет подобие треугольников. Высота делит исходный прямоугольный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника, и каждый из них подобен исходному. Из соответствующих отношений сторон следует теорема о высоте: квадрат высоты равен произведению отрезков гипотенузы, на которые она её разделила. Эти части имеют длины a и b, значит, для высоты h выполняется h² = ab, откуда h = √(ab).

Среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического, потому что квадрат любого числа неотрицателен: (a − b)² ≥ 0. Раскрывая скобки, получаем a² − 2ab + b² ≥ 0, а значит, (a + b)² ≥ 4ab. Обе стороны сравнения положительны, поэтому можно извлечь квадратный корень: (a + b) / 2 ≥ √(ab). Равенство в исходном неравенстве возможно только при a − b = 0, то есть при a = b.

Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух отрезков

Сравнивайте величины в таблице по способу получения и условию применения. Для вычисления средней длины подставьте исходные значения в соответствующую формулу, а для построения среднего геометрического используйте перпендикуляр в полукруге. Строки о пропорции и сравнении помогают проверить, правильно ли получен результат.

Разбор задач

Задача 1. Даны отрезки длиной 4 см и 9 см. Найдите их среднее арифметическое и среднее геометрическое. Сначала определим, какие формулы соответствуют двум названиям: для арифметического нужна полусумма, для геометрического — корень из произведения. Затем сравним полученные длины.

1. Обозначим a = 4 см, b = 9 см.
2. Среднее арифметическое равно (4 + 9) / 2 = 6,5 см.
3. Среднее геометрическое равно √(4 · 9) = √36 = 6 см.
4. Проверяем: 6 см не больше 6,5 см, как и должно быть.

Ответ: среднее арифметическое — 6,5 см, среднее геометрическое — 6 см.

Задача 2. Постройте среднее геометрическое отрезков длиной 5 см и 20 см и найдите его длину. Поскольку требуется и построение, используем высоту к гипотенузе в полукруге. Такая конструкция подходит именно потому, что высота связана с двумя частями гипотенузы соотношением h² = ab.

1. На прямой отложим подряд 5 см и 20 см; получим отрезок длиной 25 см.
2. Построим полукруг с этим отрезком в качестве диаметра.
3. В точке соединения частей диаметра восстановим перпендикуляр до дуги полукруга.
4. Длина перпендикуляра равна √(5 · 20) = √100 = 10 см.

Ответ: среднее геометрическое равно 10 см; на чертеже его изображает построенная высота.

Задача 3. Докажите, что для любых положительных a и b среднее арифметическое не меньше среднего геометрического, и укажите случай равенства. Вместо сравнения двух формул напрямую используем выражение, которое всегда неотрицательно, — квадрат разности. Это позволит получить нужное неравенство преобразованиями.

1. Запишем (a − b)² ≥ 0, так как квадрат любого числа неотрицателен.
2. Раскроем скобки: a² − 2ab + b² ≥ 0, откуда (a + b)² ≥ 4ab.
3. Так как a и b положительны, обе части можно сравнить после извлечения корня: a + b ≥ 2√(ab).
4. Разделим на 2: (a + b) / 2 ≥ √(ab). Равенство возникает, когда (a − b)² = 0, то есть a = b.

Ответ: среднее арифметическое не меньше среднего геометрического; равенство достигается при a = b.

Типичные ошибки

Иногда средним арифметическим называют сумму a + b. В таком ответе забывают, что средняя длина делит общий отрезок на две равные части, поэтому сумму нужно разделить на 2. Проверьте результат: при равных исходных длинах среднее должно совпасть с каждой из них, а сумма будет вдвое больше.

Формулу √(ab) могут путать с выражением (√a + √b) / 2. Вторая запись означает среднее арифметическое корней, а не среднее геометрическое исходных длин. Чтобы проверить себя, вспомните пропорцию a:x = x:b: из неё следует x² = ab, а не сумма корней.

Среднее геометрическое применяют к отрезкам нулевой или отрицательной длины. Но длина не бывает отрицательной, а в этой теме исходные длины должны быть положительными; при нуле условие определения тоже не выполнено. Перед вычислением проверьте, что a > 0 и b > 0.

При построении за среднее геометрическое принимают весь диаметр или одну из его частей. Однако нужную длину задаёт высота, проведённая из общей точки частей диаметра перпендикулярно к нему. Проверьте, что отрезок действительно является высотой к гипотенузе: тогда его квадрат равен произведению частей гипотенузы.

Связь с другими темами

Для пропорции a:x = x:b нужно знать основное свойство пропорции, а для обоснования построения — подобие треугольников и теорему о высоте прямоугольного треугольника. Сравнение средних опирается на преобразование неравенств и факт, что квадрат числа неотрицателен. Эти приёмы пригодятся при решении задач на пропорции, квадратные уравнения и оценки величин. Геометрическое построение показывает, как алгебраическое равенство можно представить на чертеже.

Что запомнить

• Среднее арифметическое двух длин равно (a + b) / 2.
• Среднее геометрическое двух положительных длин равно √(ab).
• Среднее геометрическое является средним пропорциональным: a:x = x:b.
• Среднее геометрическое можно построить как высоту к гипотенузе прямоугольного треугольника.
• Для положительных a и b выполняется √(ab) ≤ (a + b) / 2.
• Равенство средних возможно только при a = b.