"Геометрия", Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. / Под ред. Садовничего В.А.
Синус острого угла — отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы прямоугольного треугольника. Он помогает находить неизвестные стороны и углы, а его значение зависит только от величины угла, а не от размера треугольника. Поэтому для любого угла можно использовать одно и то же отношение в подобных треугольниках. Для углов 30°, 45° и 60° синусы выражаются точно и их полезно знать наизусть.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение длины противолежащего этому углу катета к длине гипотенузы. Например, если катет напротив угла A равен 3 см, а гипотенуза — 5 см, то sin A = 3/5. Это определение позволяет по двум сторонам вычислять синус угла.
Противолежащим данному острому углу называют катет, который находится напротив него и не образует его стороны. Чтобы найти такой катет, сначала нужно выбрать угол, о котором идёт речь. Это помогает не перепутать нужную сторону, ведь при выборе другого острого угла противолежащим будет уже второй катет.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она длиннее каждого из двух катетов, поэтому служит знаменателем в отношении для синуса. Умение отличать гипотенузу от катетов нужно, чтобы правильно составлять это отношение.
Запись sin A читают «синус угла A»; буква A указывает, к какому углу относится число. Sin A — не длина какой-либо стороны, а отношение двух длин, поэтому оно не имеет единиц измерения. Такое обозначение позволяет коротко записывать связь между углом и сторонами треугольника.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором прямой угол C, а угол A острый. Гипотенуза здесь AB, а противолежащий углу A катет — BC. Поэтому sin A = BC/AB: в числителе стоит сторона напротив выбранного угла, в знаменателе — сторона напротив прямого угла. Катет AC в это отношение не входит, потому что он прилегает к углу A.
Синус не меняется при увеличении или уменьшении треугольника, если величина угла остаётся прежней. Прямоугольные треугольники с равными острыми углами подобны: их соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны. Значит, если стороны числителя и знаменателя увеличить в одно и то же число раз, отношение BC/AB останется прежним. Поэтому синус характеризует угол, а не конкретный треугольник.
У острого угла синус больше нуля, потому что длины сторон треугольника положительны. Он меньше единицы: любой катет короче гипотенузы, и при делении меньшего положительного числа на большее получается число между нулём и единицей. Это свойство можно использовать для проверки вычисления. Если получился ноль, единица или число больше единицы, стоит проверить выбранные стороны и деление.
У прямоугольного треугольника два острых угла. Если вместо угла A рассмотреть угол B, противолежащим ему окажется катет AC, тогда как гипотенуза AB останется той же. Следовательно, sin A = BC/AB, а sin B = AC/AB. Катеты меняются ролями, потому что каждый из них лежит напротив одного из острых углов.
Значения для углов 30° и 60° получают из равностороннего треугольника. Если провести в нём высоту, она разделит его на два равных прямоугольных треугольника с углами 30° и 60°; при стороне 2 гипотенуза равна 2, а половина основания — 1. По теореме Пифагора высота равна √3, поэтому синусы равны 1/2 и √3/2 соответственно. В равнобедренном прямоугольном треугольнике с катетами 1 гипотенуза равна √2, откуда sin 45° = 1/√2 = √2/2.
| Угол | 30° | 45° | 60° |
|---|---|---|---|
| Значение синуса | ½ | √2/2 | √3/2 |
Таблица помогает быстро вспомнить точные значения синусов трёх часто встречающихся углов. Сначала найдите нужный угол в верхней строке, затем прочитайте значение в строке ниже. Используйте эти значения в задачах и проверяйте, что синус острого угла находится между нулём и единицей.
Условие: угол A острый в прямоугольном треугольнике. Нужно указать стороны, входящие в запись sin A. Числовых длин не дано, поэтому достаточно определить положение сторон относительно угла.
Ответ: sin A = противолежащий углу A катет / гипотенуза. Проверка состоит в том, чтобы убедиться, что в знаменателе стоит именно гипотенуза. Другой катет в этой записи не участвует.
Условие: катет, противолежащий углу A, равен 5 см, а гипотенуза — 13 см. Требуется найти sin A. Обе нужные стороны известны, поэтому можно сразу применить определение синуса.
Ответ: sin A = 5/13, или приблизительно 0,385. Сантиметры в числителе и знаменателе сокращаются, поэтому синус не измеряется в сантиметрах. Значение положительно и меньше единицы, как и должно быть для острого угла.
Условие: гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, sin A = 0,6. Нужно найти катет, противолежащий углу A. Неизвестной стороной является числитель в формуле синуса.
Ответ: противолежащий катет равен 6 см. При проверке разделите найденную длину на гипотенузу: 6/10 = 0,6. Получилось заданное значение синуса, значит вычисление выполнено верно.
Иногда противолежащий катет путают с прилежащим. Обычно это происходит, когда стороны называют без указания угла, хотя их роль зависит от выбранного острого угла. Выделите угол на чертеже и проследите, какая сторона лежит прямо напротив него; при смене угла роли катетов поменяются.
Другая ошибка — делить длину гипотенузы на длину катета. Так отношение переворачивается, хотя по определению в числителе должен стоять противолежащий катет, а в знаменателе — гипотенуза. Перед вычислением запишите формулу словами или символами и проверьте, что гипотенуза стоит снизу.
Можно ошибочно считать, что у более крупного треугольника синус того же угла будет больше. Такое впечатление возникает из-за того, что длины сторон увеличиваются, но при подобии они растут в одинаковое число раз. Разделите соответствующие стороны в двух подобных треугольниках: отношения совпадут, значит синус не зависит от размеров.
Иногда синус острого угла принимают равным единице или даже большим неё. Это противоречит определению: катет короче гипотенузы, поэтому отношение катета к гипотенузе меньше единицы, но положительно. Если результат вышел за пределы от 0 до 1, проверьте, не переставлены ли числитель и знаменатель и верно ли выбрана сторона.
Для изучения синуса нужно уметь распознавать катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника. Также полезны признаки подобия треугольников и понимание того, что отношения соответствующих сторон у подобных фигур одинаковы. Эти знания объясняют, почему значение синуса связано с углом, а не с размером треугольника.
Синус помогает находить стороны прямоугольного треугольника, если известны угол и одна из сторон. Позже вместе с ним изучают косинус и тангенс — другие отношения сторон, связанные с углом. Эти понятия составляют основу тригонометрии и позволяют решать задачи о треугольниках.
Как найти синус острого угла в прямоугольном треугольнике?
Найдите катет, который лежит напротив выбранного угла, и разделите его длину на длину гипотенузы. Например, если эти стороны равны 5 см и 13 см, синус равен 5/13. Единицы измерения в отношении сокращаются.
Почему синус угла не зависит от длины сторон треугольника?
Прямоугольные треугольники с одинаковым острым углом подобны. При увеличении треугольника соответствующие стороны увеличиваются в одинаковое число раз, поэтому их отношение не меняется. Значит, синус задаётся величиной угла.
Как определить противолежащий катет?
Сначала выберите острый угол. Противолежащим ему будет катет, который не образует этот угол и находится напротив него. При выборе другого острого угла противолежащим станет другой катет.
Может ли синус острого угла быть больше единицы?
Нет. Синус — это отношение катета к гипотенузе, а катет короче гипотенузы. Поэтому синус острого угла больше нуля, но меньше единицы.
Как запомнить значения синусов углов 30°, 45° и 60°?
Запомните значения по порядку: sin 30° = ½, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2. Их можно получить из равностороннего и равнобедренного прямоугольного треугольников. Заметьте, что при увеличении угла от 30° до 60° значения синуса возрастают.
68. Синус острого угла
