67. Косинус острого угла

Определения и обозначения

Косинус острого угла — отношение прилежащего к нему катета прямоугольного треугольника к гипотенузе. Это определение позволяет заменить геометрические стороны числовым отношением и сравнивать углы в разных треугольниках. Например, если прилежащий катет равен 3, а гипотенуза — 5, косинус равен 3/5. Для верного результата сначала нужно разобраться, какие именно стороны участвуют в отношении.

Прилежащий катет — катет, который образует рассматриваемый острый угол. У прямоугольного треугольника два катета, и для другого острого угла каждый из них будет прилежащим по очереди. Это определение нужно, чтобы выбрать в числитель правильную сторону. Катет, который не образует выбранный угол, называется противолежащим.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она длиннее каждого из катетов и остаётся гипотенузой независимо от того, какой острый угол рассматривается. Это помогает безошибочно выбрать знаменатель в отношении для косинуса. Не путайте гипотенузу с прилежащим катетом: они соединяются в вершине острого угла, но выполняют разные роли.

Обозначение cos α — запись косинуса угла α; греческую букву α читают «альфа». Указание угла необходимо, потому что у двух острых углов одного треугольника косинусы обычно различны. Запись определения формулой выглядит так: cos α = прилежащий катет / гипотенуза. Вместо слов в числителе и знаменателе можно подставить обозначения сторон, если из чертежа понятно, к какому углу они относятся.

Как это устроено

Чтобы вычислить косинус, сначала отметьте нужный острый угол и прямой угол. Сторона напротив прямого угла — гипотенуза, а из двух оставшихся сторон прилежащей к выбранному углу будет та, которая с ним соприкасается. Другой катет расположен напротив выбранного острого угла. Такой порядок помогает не спутать стороны: названия катетов меняются при выборе другого угла, а название гипотенузы — нет.

Косинус одного и того же угла одинаков в треугольниках разных размеров, потому что прямоугольные треугольники с равными острыми углами подобны. В подобных треугольниках соответствующие стороны увеличиваются или уменьшаются во столько же раз, поэтому их отношение сохраняется. Значит, отношение прилежащего катета к гипотенузе определяется величиной угла, а не длинами сторон. Можно взять удобный треугольник с тем же углом и получить то же значение косинуса.

Формула определения записывается так: cos α = прилежащий катет / гипотенуза. Чтобы применить её, длину катета ставят в числитель, а длину гипотенузы — в знаменатель. Например, при катете 6 и гипотенузе 10 получаем cos α = 6/10 = 3/5. Дробь можно сократить, но местами её части менять нельзя: отношение катета к гипотенузе не равно обратному отношению.

Косинус острого угла положителен и меньше единицы. Длины катета и гипотенузы положительны, а гипотенуза длиннее катета, поэтому отношение катета к гипотенузе больше нуля, но меньше единицы. Это полезная проверка вычислений: если получилось отрицательное число или число не меньше единицы, проверьте выбор сторон и деление. Равным единице косинус острого угла быть не может.

Косинус помогает найти неизвестную сторону, если известны угол и одна из сторон. Если известны косинус и гипотенуза, умножьте гипотенузу на косинус: прилежащий катет = cos α · гипотенуза. Если известны прилежащий катет и косинус, разделите катет на косинус: гипотенуза = прилежащий катет / cos α. Выбирайте формулу по тому, какая сторона неизвестна, и проверьте, что ответ согласуется с длинами сторон: гипотенуза должна быть самой длинной.

Косинус некоторых острых углов

Используйте таблицу, когда угол равен 30°, 45° или 60°: она даёт точное значение косинуса без измерений. Столбец с катетом поясняет, как соотносятся стороны для указанного угла. При 30° и 60° речь идёт о разных острых углах, поэтому прилежащие катеты в одном треугольнике могут быть разными.

Разбор задач

Задача 1. В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу α, равен 3, а гипотенуза — 5. Найдите cos α. Стороны уже названы относительно нужного угла, поэтому дополнительный чертёж для выбора числителя не требуется. Нужно воспользоваться определением и сократить полученную дробь, если это возможно.

1. Запишем формулу: cos α = прилежащий катет / гипотенуза. Она подходит, потому что обе нужные длины даны.

2. Подставим значения: cos α = 3/5. В числителе стоит катет, а в знаменателе — гипотенуза.

3. Дробь 3/5 не сокращается. Ответ: cos α = 3/5.

Задача 2. В прямоугольном равнобедренном треугольнике найдите косинус каждого острого угла, если катеты равны 4. Треугольник равнобедренный, поэтому его острые углы равны, а вместе они составляют 90°. Чтобы найти косинус, сперва потребуется определить длину гипотенузы.

1. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = 4² + 4² = 32. Значит, c = √32 = 4√2.

2. Острые углы равны, поэтому каждый равен 45°. Для каждого угла прилежащий катет имеет длину 4, а гипотенуза — 4√2.

3. Вычислим отношение: cos 45° = 4/(4√2) = 1/√2 = √2/2. Ответ: косинус каждого острого угла равен √2/2.

Задача 3. Для острого угла α известно, что cos α = 3/5, а гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20. Найдите прилежащий катет. Значение косинуса уже является отношением искомого катета к гипотенузе. Поэтому можно либо умножить гипотенузу на это отношение, либо составить равенство по определению.

1. Запишем cos α = прилежащий катет / гипотенуза. Обозначим неизвестный прилежащий катет через x.

2. Подставим данные: 3/5 = x/20. Выразим x умножением гипотенузы на косинус: x = 20 · 3/5.

3. Вычислим: x = 12. Ответ: прилежащий катет равен 12.

Типичные ошибки

Ошибка: в числитель ставят противолежащий катет. Так бывает, когда ученик помнит, что для косинуса нужен катет, но не связывает его с выбранным углом. Проверьте себя: прилежащий катет должен образовывать этот острый угол, а не лежать напротив него. Если использован противолежащий катет, полученное отношение не является косинусом данного угла.

Ошибка: в знаменателе записывают катет вместо гипотенузы. Две стороны прямоугольного треугольника сходятся у острого угла, поэтому их легко перепутать. Сначала найдите прямой угол: сторона напротив него и есть гипотенуза. Проверьте также длины — гипотенуза обязана быть длиннее каждого катета.

Ошибка: меняют местами числитель и знаменатель и вычисляют гипотенузу, делённую на катет. Такое может произойти, если вспоминают отношение сторон без точной формулы. Прочитайте формулу словами: косинус равен прилежащему катету, делённому на гипотенузу. Проверка проста: результат для острого угла должен быть меньше единицы, а обратное отношение будет больше единицы.

Ошибка: считают, что у одного угла могут быть разные косинусы в треугольниках разных размеров. Длины сторон действительно могут отличаться, но вместе с ними меняется масштаб треугольника. Подобие показывает, что соответствующие стороны увеличиваются в одинаковое число раз, поэтому их отношение остаётся прежним. Для проверки сравните именно величину угла, а не длины сторон треугольников.

Связь с другими темами

Для работы с косинусом нужно знать, где в прямоугольном треугольнике катеты и гипотенуза, и уметь применять теорему Пифагора. Также пригодится подобие треугольников: оно объясняет, почему отношение сторон зависит от угла, а не от размера фигуры. Эти знания помогают не только подставлять числа в формулу, но и обосновывать её.

Косинус используют при решении прямоугольных треугольников, когда известны угол и сторона, а другую сторону нужно найти. Позже рядом с ним изучают синус и тангенс острого угла — другие отношения сторон в таком треугольнике. Вместе эти понятия дают несколько способов связывать углы и длины сторон.

Что запомнить

• cos α — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Косинус зависит от величины угла, а не от размеров треугольника.
• Для острого угла косинус больше 0 и меньше 1.
• Гипотенуза всегда длиннее катета.
• В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны 45°.
• При вычислении косинуса сначала определите, какой катет прилежит к нужному углу.