"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит её на две проекции и образует два меньших треугольника. Все три треугольника подобны, поэтому их стороны связаны пропорциями. Из этих пропорций следуют формулы для катетов и высоты: они помогают находить неизвестные длины, а также объясняют связь теоремы Пифагора с другими свойствами треугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90°. Стороны, образующие этот угол, называются катетами, а сторона напротив прямого угла — гипотенузой. Например, в треугольнике ABC с прямым углом C катеты — AC и BC, а гипотенуза — AB. Такое обозначение помогает сразу понять, какую сторону можно связать с гипотенузой специальной формулой.
Высота к гипотенузе — отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу. Обозначим её CD, где D лежит на AB; тогда CD ⟂ AB. Эта высота нужна, чтобы разделить исходный треугольник на две части и увидеть связи между их сторонами. Точка D также задаёт отрезки гипотенузы, которые понадобятся в формулах.
Проекция катета на гипотенузу — часть гипотенузы, прилегающая к данному катету после проведения высоты. Если CD — высота, то AD является проекцией катета AC, а DB — проекцией катета BC. Это не сам катет, а отрезок на гипотенузе. Различать проекции необходимо, чтобы подставлять в формулу именно соответствующий катету отрезок.
Метрические соотношения — равенства, связывающие длины сторон прямоугольного треугольника, высоты к гипотенузе и проекций катетов. Слово «метрические» указывает на то, что речь идёт о длинах и их произведениях. С помощью этих равенств можно найти неизвестный катет, высоту или проекцию, если известны другие величины. Для применения удобно обозначить гипотенузу AB = c, катеты AC = b и BC = a, высоту CD = h, а проекции AD = m и DB = n.
Проведём высоту CD из вершины C к гипотенузе AB. Поскольку CD перпендикулярна AB, треугольники ACD и BCD прямоугольные. Высота разделила исходный треугольник ABC на два меньших, и у каждой получившейся части есть собственные катет, гипотенуза и острые углы. Такое построение позволяет сравнить стороны трёх треугольников, а не рассматривать их по отдельности.
Малые треугольники подобны исходному: у каждого есть прямой угол, а один острый угол совпадает с острым углом ABC или BAC. По признаку подобия по двум углам этого достаточно, чтобы соответствующие углы и отношения соответствующих сторон совпали. Например, треугольники ACD и ABC подобны, а треугольники BCD и ABC тоже подобны. Поэтому стороны можно записывать в пропорциях и получать равенства для длин.
Из подобия треугольников ACD и ABC следует отношение AC/AB = AD/AC: катету AC в малом треугольнике соответствует сторона AB в большом, а отрезку AD — AC. Перемножив крайние и средние члены пропорции, получаем AC² = AB · AD, то есть b² = cm. Аналогично для второго катета из подобия BCD и ABC получаем BC² = AB · DB, или a² = cn. Это теорема о катете: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию именно этого катета.
Чтобы получить формулу для высоты, сравним треугольники ACD и BCD. Их подобие даёт отношение AD/CD = CD/DB: стороны, соответствующие друг другу, стоят в пропорции. После перемножения получаем CD² = AD · DB, то есть h² = mn. Иными словами, квадрат высоты к гипотенузе равен произведению двух отрезков, на которые эта высота делит гипотенузу. Если известны оба отрезка, высоту можно найти извлечением квадратного корня из их произведения.
Сложим равенства для квадратов катетов: a² + b² = cn + cm = c(n + m). Отрезки AD и DB вместе составляют гипотенузу, поэтому m + n = c, а значит, a² + b² = c² — это теорема Пифагора. Для решения задач полезно сначала отметить на чертеже, какой катет соответствует каждой проекции, а затем выбрать нужное равенство. После вычислений проверьте, что сумма проекций равна гипотенузе и что найденные длины положительны.
| Что связывается | Соотношение | Обозначения |
|---|---|---|
| Квадрат катета и его проекция на гипотенузу | a² = cn; b² = cm | a = BC, b = AC, c = AB; n = DB, m = AD |
| Квадрат высоты к гипотенузе и отрезки гипотенузы | h² = mn | h = CD; m = AD, n = DB |
| Квадрат гипотенузы и квадраты катетов | c² = a² + b² | c = AB, a = BC, b = AC |
Сначала определите, какие величины известны, и выберите строку с нужной связью. В формуле катета используйте его собственную проекцию: для BC это DB, для AC — AD. Если неизвестна длина, выразите её из равенства и возьмите положительное значение.
Задача 1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 25, а проекция одного катета на неё — 9. Найдите этот катет. Обозначим катет через x, а его проекцию — через 9. По теореме о катете квадрат катета равен произведению гипотенузы на эту проекцию.
Ответ: 15. Проверка проста: квадрат найденного катета равен 225, как и произведение 25 · 9. Для формулы использована проекция именно этого катета, а не второй отрезок гипотенузы.
Задача 2. Высота к гипотенузе делит её на отрезки 4 и 9. Найдите высоту и гипотенузу. Здесь известны обе проекции, поэтому для высоты подходит равенство h² = mn. Сама гипотенуза состоит из данных отрезков, значит, её длину можно найти сложением.
Ответ: высота равна 6, гипотенуза — 13. Число 6 — положительная длина, квадрат которой равен произведению отрезков. Проверка гипотенузы: отрезки 4 и 9 вместе действительно дают 13.
Задача 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите гипотенузу, высоту к ней и проекции катетов. Сначала нужна гипотенуза: она входит в формулы для проекций, а также позволяет проверить результат. Обозначим катеты a = 15 и b = 20, гипотенузу c, а соответствующие проекции — n и m.
Ответ: гипотенуза 25, высота 12, проекция катета 15 равна 9, проекция катета 20 равна 16. Каждая проекция найдена по формуле своего катета. Проверка суммы помогает заметить ошибку в вычислении или в выборе отрезка.
Проекцию принимают за катет или за отрезок, который лежит напротив катета. Путаница появляется потому, что все эти отрезки связаны с одним треугольником и обозначаются рядом. Проекция всегда является частью гипотенузы между её концом и основанием высоты. Проверьте чертёж: нужный отрезок должен лежать на гипотенузе и примыкать к рассматриваемому катету.
В формулу подставляют проекцию другого катета: например, для AC используют DB вместо AD. Ошибка возникает, если не указать соответствие отрезков перед вычислением. Для катета AC берут проекцию AD, а для BC — DB. Самопроверка: мысленно соедините катет с его проекцией — они должны иметь общий конец на гипотенузе.
Забывают квадрат катета или высоты и записывают, например, b = cm вместо b² = cm. Обычно это происходит при переносе формулы из памяти без проверки её смысла. В равенствах сравниваются произведения двух длин, поэтому с ними приравнивается квадрат длины. Перед вычислением сверьте запись с формулами b² = cm и h² = mn.
При извлечении квадратного корня оставляют отрицательный ответ или не проверяют сумму проекций. Отрицательное число может появиться при решении уравнения, но длина отрезка всегда положительна. Кроме того, две проекции вместе должны составлять всю гипотенузу: m + n = c. Запишите только положительный корень и выполните эту проверку, если известны все три величины.
Для работы с метрическими соотношениями нужны прямоугольные треугольники, подобие, пропорции и теорема Пифагора. Подобие объясняет, откуда берутся равенства, а навыки работы с пропорциями помогают их преобразовывать. Теорема Пифагора связана с формулами для катетов: её можно получить, сложив два равенства для их квадратов. Эти знания пригодятся при нахождении сторон, высот и проекций, а позднее — при изучении тригонометрии и свойств подобных фигур.
Как понять, какой отрезок называется проекцией катета на гипотенузу?
Опусти высоту из вершины прямого угла на гипотенузу: она разделит гипотенузу на два отрезка. Отрезок у вершины, с которой соединён нужный катет, и есть проекция этого катета.
Почему высота к гипотенузе образует треугольники, подобные исходному?
Каждый из меньших треугольников прямоугольный, как и исходный. Кроме того, у каждого есть общий с исходным острый угол, поэтому треугольники подобны по двум углам.
Как определить, какую проекцию подставлять в формулу для катета?
Используй проекцию, которая лежит рядом с этим катетом: квадрат катета равен произведению гипотенузы на его собственную проекцию. Например, если катет AC, то его проекция — отрезок гипотенузы AD.
Как найти высоту к гипотенузе, если известны два отрезка, на которые она её делит?
Перемножь длины этих отрезков: квадрат высоты равен их произведению. Затем извлеки квадратный корень, выбрав положительное значение, потому что длина не может быть отрицательной.
Можно ли найти все стороны и проекции, зная только катеты?
Да. Сначала по теореме Пифагора находят гипотенузу, затем проекции — по формуле квадрата катета. Высоту можно вычислить из равенства h² = mn, где m и n — найденные проекции.
4.1. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
