"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Метрические соотношения связывают стороны прямоугольного треугольника с высотой к гипотенузе и проекциями катетов. Если из вершины прямого угла опустить перпендикуляр на гипотенузу, образуются два подобных маленьких треугольника. Благодаря этому можно находить неизвестные катеты, высоту, гипотенузу и её отрезки без сложных построений. Главные формулы выражают квадраты катетов и высоты через произведения отрезков.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Проекция катета на гипотенузу — отрезок гипотенузы, на который опускается перпендикуляр из конца катета. В треугольнике ABC с прямым углом C и высотой CH это AH для катета AC и HB для катета BC. Такое обозначение помогает правильно подобрать формулу.
Высота к гипотенузе — перпендикуляр CH, проведённый из вершины прямого угла C к гипотенузе AB. Точка H является основанием высоты и делит гипотенузу на два отрезка. Высота нужна, чтобы связать стороны треугольника с этими отрезками.
Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике — равенства, связывающие катеты, гипотенузу, высоту к ней и проекции катетов. Они позволяют находить неизвестные длины по нескольким известным величинам. В отличие от определения, это не один факт, а целая система формул.
Теорема о катете утверждает: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета. Для AC используется AH, а для BC — HB. Теорема особенно удобна, когда известны гипотенуза и одна её часть.
Проведём из вершины C перпендикуляр CH к гипотенузе AB. Угол C исходного треугольника прямой, а углы A и B в двух новых треугольниках совпадают с углами исходного треугольника. Поэтому каждый из треугольников ACH и BCH подобен ABC по двум углам.
Рассмотрим подобие треугольников ABC и ACH. Катету AC в большом треугольнике соответствует гипотенуза AB в малом, а гипотенузе AB — отрезок AH. Из пропорции AC/AB = AH/AC после перемножения крест-накрест получается AC² = AB · AH. Такой же переход для второго треугольника даёт BC² = AB · HB.
Два малых треугольника тоже подобны: у них есть по прямому углу, а один острый угол первого равен острому углу второго. Из соответствия сторон следует CH/AH = HB/CH. Перемножив крайние и средние члены пропорции, получаем CH² = AH · HB.
Можно сравнить исходный треугольник с одним из малых и выбрать отношения, в которых участвуют оба катета и высота. Например, из подобия получается AC/CH = AB/BC. После умножения равенство преобразуется в AC · BC = AB · CH. Так появляется формула для произведения катетов.
Эти рассуждения работают и в обратную сторону. Если известны гипотенуза и её проекция, по теореме о катете находят катет; если известны AH и HB, находят CH. После вычислений полезно проверить результат по другой формуле или по теореме Пифагора.
| Что связывается | Равенство при ∠C = 90°, CH ⟂ AB |
|---|---|
| Квадрат катета AC и проекция AH | AC² = AB · AH |
| Квадрат катета BC и проекция HB | BC² = AB · HB |
| Квадрат высоты CH и отрезки гипотенузы | CH² = AH · HB |
| Произведение катетов и произведение гипотенузы на высоту | AC · BC = AB · CH |
Сначала определите, какие величины известны и что требуется найти. Затем выберите строку, где искомая величина связана с данными, и выразите её из равенства.
Следите за соответствием: AC связано с AH, а BC — с HB. Если неизвестна длина, используйте положительный квадратный корень.
Гипотенуза равна 25, а проекция одного катета на неё — 9. Требуется найти катет. Обозначим его длину через x и убедимся, что проекция относится именно к нему.
Ответ: 15.
Высота к гипотенузе делит её на отрезки 4 и 9. Нужно найти высоту и всю гипотенузу. Обозначим эти отрезки как AH = 4 и HB = 9.
Ответ: высота равна 6, гипотенуза равна 13.
Катеты относятся как 3:4, а гипотенуза равна 20. Сначала найдём катеты, затем их проекции и высоту. Пусть катеты равны 3k и 4k: такое обозначение сразу учитывает данное отношение.
Ответ: катеты 12 и 16, проекции 7,2 и 12,8, высота 9,6.
Подставляют в теорему о катете проекцию другого катета. Ошибка возникает, когда смотрят только на близость обозначений и не связывают AC с AH, а BC с HB. Проверьте, из какого конца катета опущен перпендикуляр.
Считают высотой отрезок гипотенузы. Так бывает, если смешивают название линии и её основание: высота — это CH, а AH и HB лежат на гипотенузе. Убедитесь, что нужный отрезок образует прямой угол с AB.
Забывают возвести катет или высоту в квадрат. В формулах AC² = AB · AH и CH² = AH · HB квадрат относится именно к искомой величине. Перед вычислением перепишите равенство и только потом извлекайте корень.
При извлечении корня оставляют отрицательное значение или не выполняют проверку. Длина всегда положительна, а найденные AH и HB в сумме должны дать AB. Сверьте результат с исходной формулой или теоремой Пифагора.
Для вывода метрических соотношений нужны подобие треугольников, теорема Пифагора и свойства прямоугольного треугольника. Подобие объясняет происхождение формул, а Пифагор помогает находить недостающие стороны и проверять вычисления.
Эти равенства применяются в задачах на площади, подобие и решение прямоугольных треугольников. С их помощью можно находить не только стороны, но и высоты, проекции и другие элементы фигуры.
Что называют проекцией катета на гипотенузу?
Проекция катета на гипотенузу — это отрезок гипотенузы между её концом и основанием перпендикуляра, проведённого из другого конца катета. При CH ⟂ AB проекциями катетов AC и BC являются AH и HB соответственно.
Почему квадрат катета равен произведению гипотенузы на его проекцию?
После проведения высоты CH получаются треугольники, подобные исходному. Из равенства соответствующих отношений сторон следует AC² = AB · AH и BC² = AB · HB.
Как найти высоту к гипотенузе, если известны отрезки гипотенузы?
Нужно перемножить отрезки AH и HB, а затем извлечь квадратный корень: CH = √(AH · HB). Берут положительный корень, потому что длина не может быть отрицательной.
Какая проекция соответствует каждому катету?
Катету AC соответствует отрезок AH, а катету BC — отрезок HB. Проекция находится на гипотенузе рядом с тем концом, из которого выходит данный катет.
Можно ли по метрическим соотношениям найти неизвестные стороны треугольника?
Да, если известны подходящие стороны, проекции или высота. Формулы позволяют составить уравнение для неизвестной величины, а теорема Пифагора помогает дополнить решение и проверить результат.
§ 15. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
