"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. С её помощью находят неизвестную сторону, когда известны две другие, а обратная теорема позволяет проверить, прямоугольный ли треугольник. Главное — правильно определить гипотенузу: она лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого равен 90°. Это название сразу подсказывает, что в треугольнике есть прямой угол, и помогает понять, к каким фигурам применима теорема Пифагора. Два других угла такого треугольника острые.
Катет — сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу. Таких сторон две, и именно их длины складывают в квадратной формуле теоремы Пифагора. Обычно катеты обозначают буквами a и b.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она одна и всегда длиннее каждого катета, поэтому её удобно обозначать буквой c. Чтобы не перепутать стороны, сначала найдите прямой угол, а потом посмотрите на противоположную ему сторону.
Теорема Пифагора — утверждение о связи квадратов гипотенузы и катетов прямоугольного треугольника. Она позволяет вычислить неизвестную сторону, если известны две другие. Условие здесь существенно: применять формулу можно именно к прямоугольному треугольнику.
В прямоугольном треугольнике два катета сходятся под углом 90°, а третья сторона лежит напротив этого угла. Катеты образуют прямой угол, поэтому их можно определить по расположению, а не по длине. Гипотенуза всегда самая длинная сторона: напротив большего угла треугольника лежит большая сторона, а 90° больше каждого из двух острых углов.
Теорема Пифагора утверждает: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если катеты обозначить a и b, а гипотенузу — c, получим формулу c² = a² + b². Возведение в квадрат означает умножение числа на себя, а значит, по двум катетам можно вычислить квадрат длины гипотенузы. Чтобы получить саму длину, затем извлекают квадратный корень.
У формулы есть наглядный геометрический смысл. Если построить квадрат на каждой стороне прямоугольного треугольника, площадь квадрата со стороной a будет a², со стороной b — b², а со стороной c — c². Теорема говорит, что площадь большого квадрата на гипотенузе равна сумме площадей двух квадратов на катетах. Поэтому в формуле складывают именно квадраты длин, а не сами длины.
Если неизвестен катет, формулу можно преобразовать: из равенства c² = a² + b² вычитают квадрат известного катета. Например, чтобы найти a, записывают a² = c² − b², а затем находят a = √(c² − b²). Под корнем получается квадрат искомой длины, поэтому выбирают положительный корень. Вычитание возможно потому, что квадрат гипотенузы включает в себя сумму квадратов обоих катетов.
Обратная теорема позволяет выяснить, прямоугольный ли треугольник, когда известны только длины его сторон. Если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух остальных сторон, то угол напротив большей стороны равен 90°. Например, для сторон длиной 3, 4 и 5 проверяют, верно ли равенство 5² = 3² + 4². Сначала нужно выбрать наибольшую сторону: иначе равенство не будет проверкой обратной теоремы.
| Что известно или требуется найти | Соотношение | Как применить |
|---|---|---|
| Гипотенуза и два катета известны | c² = a² + b² | Проверить связь между сторонами |
| Найти гипотенузу | c = √(a² + b²) | Сложить квадраты катетов и извлечь корень |
| Найти один катет | a = √(c² − b²) | Из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета и извлечь корень |
| Проверить, прямоугольный ли треугольник | c² = a² + b², где c — наибольшая сторона | Сравнить квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух остальных |
Сначала решите, что именно дано и что требуется найти, а затем выберите соответствующую строку. Обозначение c используют для гипотенузы в прямоугольном треугольнике; при проверке обратной теоремы сначала считают наибольшую сторону предполагаемой гипотенузой. Не забывайте, что в корень подставляют квадраты длин.
Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найдите гипотенузу. Известны обе стороны, образующие прямой угол, поэтому используем теорему Пифагора и обозначим искомую гипотенузу буквой c.
Ответ: 5 см.
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, один катет — 5 см. Найдите второй катет. Гипотенуза известна, а неизвестная сторона является катетом, поэтому не складываем, а вычитаем квадраты по преобразованной формуле.
Ответ: 12 см.
Стороны треугольника равны 7 см, 24 см и 25 см. Определите, является ли треугольник прямоугольным. Чтобы применить обратную теорему, нужно проверить квадрат именно наибольшей стороны, то есть 25 см.
Ответ: треугольник прямоугольный.
Ошибка: возводить в квадрат не те стороны или ставить в отдельной части равенства квадрат катета. Такое случается, когда стороны обозначают по длине или расположению на рисунке, не находя прямой угол. Гипотенуза лежит напротив прямого угла, и именно её квадрат стоит отдельно: c² = a² + b². Проверьте, что сторона c действительно противоположна прямому углу.
Ошибка: при поиске катета складывать квадраты. Обычно запоминают формулу для гипотенузы и применяют её без преобразования, хотя неизвестная сторона другая. Из c² = a² + b² следует a² = c² − b², поэтому для катета выполняют вычитание. Подставив числа, проверьте, что квадрат катета меньше квадрата гипотенузы.
Ошибка: в проверке обратной теоремы назвать гипотенузой любую сторону, выбранную заранее. Так можно сравнить не те величины и сделать неверный вывод. Сначала расположите стороны по возрастанию и возьмите наибольшую, а затем сравните её квадрат с суммой квадратов двух меньших. Если равенства нет, по обратной теореме прямоугольность не подтверждается.
Ошибка: остановиться на значении квадрата стороны или взять отрицательный корень. Например, из a² = 144 ещё нужно найти длину a, а отрицательная длина невозможна. Извлеките квадратный корень и запишите положительное значение. В конце проверьте, что ответ имеет единицы длины и соответствует условию.
Для работы с теоремой нужно уметь различать виды треугольников и узнавать прямой угол. Также понадобятся навыки возведения числа в квадрат и извлечения квадратного корня: именно эти действия превращают равенство квадратов в вычисление длины.
Теорема Пифагора помогает находить расстояния и диагонали, когда задача сводится к прямоугольному треугольнику. Её применяют и в задачах с высотами: высота разбивает треугольник на прямоугольные треугольники. Поэтому полезно сначала увидеть или построить прямой угол, а затем выбрать нужные стороны.
Как понять, какая сторона прямоугольного треугольника является гипотенузой?
Найдите прямой угол: сторона напротив него и есть гипотенуза. Она не прилегает к прямому углу и длиннее каждого катета.
Можно ли применять теорему Пифагора к любому треугольнику?
Нет, теорема Пифагора относится только к прямоугольным треугольникам. Для других треугольников равенство c² = a² + b² в общем случае не выполняется.
Как найти катет, если известны гипотенуза и второй катет?
Из квадрата гипотенузы вычтите квадрат известного катета: a² = c² − b². Затем извлеките положительный квадратный корень: a = √(c² − b²).
Как проверить по длинам сторон, что треугольник прямоугольный?
Сначала выберите наибольшую сторону и обозначьте её c. Если сумма квадратов двух меньших сторон равна c², то по обратной теореме треугольник прямоугольный.
Почему гипотенуза должна быть самой длинной стороной?
В прямоугольном треугольнике напротив прямого угла лежит наибольший угол. Напротив большего угла лежит большая сторона, поэтому гипотенуза длиннее обоих катетов.
§ 16. Теорема Пифагора
