54. Теорема Пифагора

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — это треугольник, один из углов которого равен 90°. Такой угол называют прямым, и именно его наличие позволяет применить теорему Пифагора. Поэтому перед вычислениями проверь, что задача действительно относится к прямоугольному треугольнику. Без прямого угла указанное ниже соотношение сторон использовать нельзя.

Катеты — две стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол. Их можно представить как стороны, сходящиеся в углу 90°. Катеты удобно обозначать буквами a и b. Чтобы не перепутать их с третьей стороной, сначала найди прямой угол, а уже затем выбирай обозначения.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, расположенная напротив прямого угла. Она длиннее каждого из катетов, потому что лежит напротив самого большого угла треугольника. Обычно её обозначают буквой c. Если неясно, какая сторона гипотенуза, найди прямой угол: напротив него будет нужная сторона.

Теорема Пифагора утверждает: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если катеты равны a и b, а гипотенуза равна c, это записывают так: a² + b² = c². Запись помогает связать известные и неизвестные длины. При решении важно не менять местами гипотенузу и катеты.

Как это устроено

Обозначим катеты буквами a и b, а гипотенузу — c. Тогда теорема записывается как a² + b² = c²: показатели ² означают, что каждую длину умножают саму на себя. Равенство работает потому, что оно описывает соотношение именно сторон прямоугольного треугольника. Сначала определи, какие стороны являются катетами, а какая — гипотенузой, и только потом подставляй числа.

У равенства есть наглядный смысл через площади. Если на каждой стороне построить квадрат, площадь квадрата со стороной a будет a², со стороной b — b², а со стороной c — c². Поэтому теорема говорит, что площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах. Речь идёт именно о площадях построенных квадратов, а не о сложении самих длин.

Геометрическое обоснование строят, сравнивая площади фигур. Например, квадраты и треугольники можно расположить или разбить на части так, чтобы получить равновеликие фигуры — фигуры с одинаковой площадью. После вычитания одинаковых частей остаётся равенство площадей квадратов на сторонах прямоугольного треугольника. Так сравнение геометрических площадей приводит к равенству a² + b² = c².

Если известны оба катета, из равенства получаем c² = a² + b². Чтобы найти длину c, нужно извлечь квадратный корень: c = √(a² + b²). Берут положительный корень, потому что длина стороны не может быть отрицательной. Например, равенство c² = 25 означает для длины стороны c = 5, а не −5.

Если нужно найти катет a, перенесём квадрат другого катета: a² = c² − b², значит, a = √(c² − b²). Вычитание появляется потому, что из суммы квадратов катетов нужно выделить неизвестный квадрат. Под корнем должно быть положительное число, а гипотенуза должна быть длиннее известного катета. Если это не так, проверь, правильно ли обозначены стороны и верно ли переписано условие.

Как применять теорему Пифагора

Сначала определи, что именно нужно найти, и подпиши стороны: c — гипотенуза, a и b — катеты. Затем выбери подходящую запись из таблицы и подставь известные длины. После вычислений проверь, что полученная сторона положительна и соответствует роли катета или гипотенузы.

В последней строке проверяют равенство для самой длинной стороны: если оно выполняется, треугольник прямоугольный. При поиске катета вычитают квадрат известного катета из квадрата гипотенузы. Не округляй промежуточные результаты без необходимости, чтобы не получить неточный ответ.

Разбор задач

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найдите гипотенузу. Сторона напротив прямого угла — гипотенуза, поэтому её квадрат равен сумме квадратов данных сторон. Сначала вычислим квадраты катетов, затем найдём длину стороны.

1. Запишем формулу: c = √(a² + b²).
2. Подставим значения: c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25.
3. Извлечём корень: c = 5 см.

Ответ: 5 см. Проверка показывает, что гипотенуза действительно длиннее обоих катетов. Мы сложили квадраты катетов, поскольку искали сторону напротив прямого угла.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, один катет — 5 см. Найдите второй катет. Так как нужно найти катет, используем разность квадратов гипотенузы и известного катета. Гипотенуза здесь длиннее известной стороны, как и должно быть.

1. Обозначим неизвестный катет через a, известный — через b = 5, гипотенузу — через c = 13.
2. Запишем формулу: a = √(c² − b²) = √(13² − 5²).
3. Вычислим: a = √(169 − 25) = √144 = 12 см.

Ответ: 12 см. Полученное число положительно и меньше гипотенузы 13 см. Значит, результат подходит на роль катета и согласуется с условием.

Прямоугольная площадка имеет длину 12 м и ширину 9 м. Найдите длину диагонали. Диагональ соединяет противоположные углы площадки и образует с её длиной и шириной прямоугольный треугольник. Стороны площадки являются катетами, а диагональ — гипотенузой.

1. Запишем формулу для гипотенузы: c = √(a² + b²).
2. Подставим длину и ширину: c = √(12² + 9²) = √(144 + 81).
3. Вычислим: c = √225 = 15 м.

Ответ: диагональ площадки равна 15 м. Результат больше обеих сторон прямоугольника, что подходит для диагонали. Теорема позволила найти её длину, хотя непосредственно измерить диагональ в условии не требовалось.

Типичные ошибки

Можно возвести в квадрат не те стороны, если перепутать гипотенузу и катет. Это часто происходит, когда стороны обозначают до того, как находят прямой угол. Проверь себя: гипотенуза всегда лежит напротив угла 90° и должна быть длиннее каждого катета. В равенстве отдельно стоит именно её квадрат.

При поиске гипотенузы иногда вычитают квадраты катетов. Причина — смешение формул для нахождения разных сторон. Если неизвестна гипотенуза, квадраты катетов нужно сложить, а затем извлечь корень. Для самопроверки подставь ответ обратно: его квадрат должен совпасть с суммой квадратов катетов.

При поиске катета можно ошибочно сложить квадраты или вычесть квадрат гипотенузы. Так бывает, если не преобразовать равенство a² + b² = c² по шагам. Нужно вычесть из квадрата гипотенузы квадрат известного катета и извлечь корень. Проверь, что под корнем получилось положительное число, а найденный катет меньше гипотенузы.

Ещё одна ошибка — остановиться на квадрате стороны или выбрать отрицательный корень. Например, из c² = 25 длина не равна 25 и не может быть −5. Извлеки корень и запиши положительное значение: c = 5. В конце укажи единицу длины, если она дана в условии.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой нужно уметь распознавать прямой угол и отличать катеты от гипотенузы. В вычислениях пригодятся возведение числа в квадрат, извлечение квадратного корня и действия с единицами длины. Та же идея помогает находить диагонали прямоугольников и квадратов: диагональ вместе с двумя сторонами образует прямоугольный треугольник. Теорему также используют для вычисления расстояний и неизвестных сторон в геометрических задачах.

Что запомнить

• Теорема Пифагора применяется к прямоугольному треугольнику.
• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
• Если катеты равны a и b, а гипотенуза — c, то a² + b² = c².
• Гипотенузу находят по формуле c = √(a² + b²).
• Катет находят как квадратный корень из разности квадратов гипотенузы и другого катета.
• Гипотенуза длиннее каждого катета.