§ 17. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника

Определения и обозначения

Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin α = противолежащий катет / гипотенуза. Противолежащим называют катет напротив выбранного угла. Синус помогает сравнить этот катет с самой длинной стороной треугольника.

Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos α = прилежащий катет / гипотенуза. Прилежащий катет образует выбранный угол вместе с гипотенузой. Косинус показывает, какую часть гипотенузы составляет этот катет.

Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg α = противолежащий катет / прилежащий катет. Здесь сравниваются два катета, а гипотенуза не участвует. Тангенс удобен, когда нужно сопоставить катеты относительно конкретного угла.

Котангенс острого угла — отношение прилежащего катета к противолежащему: ctg α = прилежащий катет / противолежащий катет. Это обратное отношение к тангенсу того же угла. Котангенс позволяет сравнить те же катеты, но в обратном порядке.

Как это устроено

Значение функции зависит от величины угла, а не от размеров треугольника. Если два прямоугольных треугольника имеют одинаковый острый угол, то они подобны: их соответствующие стороны пропорциональны. При делении одной соответствующей стороны на другую общий коэффициент изменения сокращается. Поэтому отношения сторон и значения функций у таких треугольников одинаковы.

Чтобы правильно назвать катеты, сначала выбери угол α и найди прямой угол: сторона напротив него является гипотенузой. Из двух сторон, образующих угол α, одна уже гипотенуза, а другая — прилежащий катет. Оставшийся катет находится напротив α и называется противолежащим. При выборе другого острого угла роли двух катетов поменяются.

Синус и косинус сравнивают катет с гипотенузой, потому что каждое из этих отношений описывает один катет относительно самой длинной стороны. Тангенс и котангенс сравнивают катеты между собой, поскольку показывают, во сколько раз один катет больше или меньше другого. Порядок сторон определяется названием функции: у тангенса первым идёт противолежащий катет, у котангенса — прилежащий. Так легче не перепутать отношения.

Связь tg α = sin α / cos α получается, если разделить отношение противолежащего катета к гипотенузе на отношение прилежащего катета к гипотенузе. Гипотенуза в этих дробях сокращается, и остаётся отношение противолежащего катета к прилежащему. Если разделить cos α на sin α, получится обратное отношение — ctg α. Деление допустимо, поскольку синус и косинус острого угла больше нуля.

У прямоугольного треугольника гипотенуза длиннее каждого катета. Поэтому отношение любого катета к гипотенузе положительно и меньше единицы: таковы синус и косинус острого угла. Тангенс и котангенс тоже положительны, так как каждый из них — отношение длин двух катетов. Они могут быть как меньше, так и больше единицы: это зависит от того, какой из катетов длиннее.

Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника

В таблице найди строку нужной функции и сначала проверь, какие катеты входят в её определение. Затем подставь их длины в указанном порядке; для синуса и косинуса не забудь гипотенузу. Столбец со связями помогает выразить одну функцию через две другие.

Разбор задач

Задача 1

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а катет, противолежащий углу α, — 6 см. Найдите sin α и cos α. Синус можно найти сразу, а для косинуса сначала потребуется второй катет. Найдём его по теореме Пифагора.

1. Обозначим второй катет через b. Тогда b² + 6² = 10², поэтому b² = 100 − 36 = 64 и b = 8 см.
2. По определению sin α = 6/10 = 3/5.
3. Прилежащий к α катет равен 8 см, поэтому cos α = 8/10 = 4/5.

Ответ: sin α = 3/5, cos α = 4/5. Значение синуса получилось меньше единицы, как и должно быть, ведь катет короче гипотенузы.

Задача 2

Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите тангенс и котангенс угла, противолежащего катету 5 см. По условию катет длиной 5 см — противолежащий выбранному углу. Второй катет длиной 12 см образует с ним прямой угол и является прилежащим к α.

1. Запишем стороны относительно α: противолежащий катет равен 5 см, прилежащий — 12 см.
2. Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg α = 5/12.
3. Котангенс — обратное отношение: ctg α = 12/5.

Ответ: tg α = 5/12, ctg α = 12/5. Проверка: произведение этих значений равно 1, поскольку отношения взаимно обратны.

Задача 3

Известно, что cos α = 3/5, а гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см. Найдите прилежащий катет, противолежащий катет, sin α и tg α. Косинус связывает прилежащий катет с гипотенузой, поэтому сначала восстановим катет, а затем применим теорему Пифагора. После этого можно вычислить синус и тангенс.

1. Из cos α = прилежащий катет / гипотенуза следует, что прилежащий катет равен (3/5) · 20 = 12 см.
2. Пусть противолежащий катет равен a. По теореме Пифагора a² + 12² = 20², откуда a² = 256 и a = 16 см.
3. sin α = 16/20 = 4/5, а tg α = 16/12 = 4/3.

Ответ: прилежащий катет — 12 см, противолежащий — 16 см, sin α = 4/5, tg α = 4/3. Полученный треугольник имеет стороны 12, 16 и 20 см, которые удовлетворяют теореме Пифагора.

Типичные ошибки

Ошибка: назвать прилежащим катет, который лежит напротив выбранного угла. Так случается, когда ученик смотрит только на расположение стороны, не отмечая нужный угол. Перед вычислением укажи угол α: противолежащий катет не касается его, а прилежащий образует его вместе с гипотенузой.

Ошибка: поставить катет в знаменатель синуса или косинуса вместо гипотенузы. Это часто происходит из-за смешения формул, ведь тангенс и котангенс действительно состоят из отношений катетов. Проверь, что гипотенуза находится напротив прямого угла, и используй её в знаменателе sin и cos.

Ошибка: перепутать тангенс с котангенсом, поменяв порядок катетов. Причина — в обоих отношениях участвуют одни и те же стороны. Чтобы проверить запись, прочитай формулу словами: tg — противолежащий к прилежащему, ctg — прилежащий к противолежащему.

Ошибка: применять эти определения к прямому или тупому углу. В таком случае нельзя выбрать острый угол прямоугольного треугольника так, как предполагают определения этого параграфа. Сначала проверь условие задачи: здесь рассматривается именно острый угол, лежащий в прямоугольном треугольнике.

Связь с другими темами

Для работы с функциями нужны знания о прямоугольном треугольнике, теорема Пифагора, признаки подобия и умение находить отношения. Теорема Пифагора помогает восстановить неизвестную сторону, а подобие объясняет, почему отношения сторон задаются самим углом. Тригонометрические функции позволяют находить стороны и углы прямоугольных треугольников. Позднее они пригодятся в задачах о высотах, расстояниях и наклонных, а также в геометрии и алгебре.

Что запомнить

• sin α — противолежащий катет, делённый на гипотенузу.
• cos α — прилежащий катет, делённый на гипотенузу.
• tg α — противолежащий катет, делённый на прилежащий.
• ctg α — прилежащий катет, делённый на противолежащий.
• Для острого угла все четыре функции положительны.
• tg α = sin α / cos α, а ctg α = cos α / sin α.
• Значения функций определяются величиной угла, а не размерами треугольника.