71. Определение декартовых координат

Определения и обозначения

Декартова система координат на плоскости — это две взаимно перпендикулярные числовые оси с общим началом отсчёта и выбранной единицей длины. Перпендикулярность означает, что оси пересекаются под прямым углом. Такая система нужна, чтобы описывать положение любой точки числовой парой.

Горизонтальную ось называют осью абсцисс и обозначают x, а вертикальную — осью ординат и обозначают y. Их точка пересечения — начало координат O, соответствующее числу 0 на обеих осях. Эти названия помогают различать направления, по которым определяют положение точки.

Абсцисса и ордината — соответственно первая и вторая координаты точки. Их записывают в установленном порядке как упорядоченную пару (x; y), где x — абсцисса, а y — ордината. Порядок нужен, чтобы по записи можно было без догадок понять, какое число относится к каждой оси.

Декартовы координаты точки — это пара чисел, которая однозначно задаёт её положение на плоскости относительно координатных осей. Первое число задаёт положение вдоль оси x, второе — вдоль оси y. Благодаря такой паре точку можно не только найти, но и построить заново.

Как это устроено

Оси координат пересекаются под прямым углом и имеют общее начало O, поэтому положение можно задавать отдельно по двум направлениям. На обеих осях выбирают одну и ту же единицу длины, иначе одинаковые числовые шаги соответствовали бы разным расстояниям на чертеже. Положительные направления показывают стрелками; противоположные направления соответствуют отрицательным числам.

Чтобы найти координаты точки P, через неё проводят прямые, параллельные осям. Прямая, параллельная оси y, показывает положение точки по горизонтали и пересекает ось x в числе x. Другая прямая, параллельная оси x, пересекает ось y в числе y; так получаются обе координаты, даже если сама точка не лежит на осях.

Запись делают именно в порядке (x; y), потому что сначала фиксируют смещение вдоль оси абсцисс, а после — вдоль оси ординат. Так, в паре (−2; 4) число −2 относится к горизонтальному направлению, а число 4 — к вертикальному. Если переставить числа, получится уже другое положение: (4; −2).

Для построения точки сначала от начала координат откладывают абсциссу по горизонтали, учитывая её знак. Затем через полученное место мысленно или линейкой проводят прямую, параллельную оси y, и откладывают ординату по вертикали. Точка, в которой проходят обе выбранные параллели, имеет нужную пару координат.

Знак числа показывает направление от начала координат: положительные значения откладывают по стрелке, отрицательные — против неё. Если одна координата равна нулю, смещения в соответствующем направлении нет. Поэтому при x = 0 точка остаётся на оси y, а при y = 0 — на оси x; при x = 0 и y = 0 это начало координат.

Элементы декартовой системы координат

Пользуйся таблицей, чтобы быстро вспомнить, какая ось отвечает за каждое направление. При чтении пары (x; y) сначала найди строку об абсциссе, затем — об ординате. Начало O удобно использовать как точку отсчёта для обоих перемещений.

Разбор задач

Задача 1. На координатной сетке дана точка A. Её проекции на оси показывают числа 3 и −2. Нужно определить координаты точки. Проекция на ось x даёт абсциссу, а проекция на ось y — ординату.

1. Сначала считываем значение по горизонтальной оси: x = 3.
2. Затем считываем значение по вертикальной оси: y = −2.
3. Записываем сначала x, потом y, разделяя числа точкой с запятой.

Знак минус у ординаты сохраняем: он показывает, что точка находится ниже оси x. Ответ: A(3; −2).

Задача 2. Постройте точки B(−4; 1) и C(2; 0). Для каждой пары первое число задаёт горизонтальное, а второе — вертикальное перемещение от начала координат. Нулевую координату не нужно откладывать ни вверх, ни вниз.

1. Для B откладываем x = −4: от O идём на 4 единицы влево.
2. От полученного места поднимаемся на 1 единицу, поскольку y = 1. На пересечении нужных параллелей отмечаем B.
3. Для C идём от O на 2 единицы вправо, так как x = 2; ордината равна нулю, поэтому точка остаётся на оси x.

Проверяем направления и знаки: B находится слева и выше начала, а C — справа на горизонтальной оси. Ответ: построены B(−4; 1) и C(2; 0).

Задача 3. Точка D имеет координаты (−3; 2). Найдите координаты точки E, симметричной D относительно оси ординат, и точки F, симметричной D относительно оси абсцисс. При отражении точка переходит на такое же расстояние по другую сторону выбранной оси.

1. Для E отражаем D относительно оси y. Вертикальное положение сохраняется, а горизонтальное меняет направление: −3 становится 3.
2. Для F отражаем D относительно оси x. Горизонтальное положение сохраняется, а вертикальное меняет направление: 2 становится −2.
3. Записываем координаты в порядке x, затем y, не меняя координату, соответствующую направлению вдоль самой оси отражения.

Проверка: E должна быть справа от оси y на той же высоте, что и D; F — ниже оси x на том же расстоянии от неё. Ответ: E(3; 2), F(−3; −2).

Типичные ошибки

Меняют местами координаты. Ошибка возникает, когда числа просто переписывают по рисунку, не вспоминая порядок записи. В паре (x; y) абсцисса всегда стоит первой, а ордината — второй. Проверь себя: сначала назови значение на горизонтальной оси, затем на вертикальной.

Не учитывают знак координаты. Иногда отрицательное число откладывают туда же, куда положительное, потому что замечают только расстояние от нуля. Но знак показывает направление, поэтому отрицательные значения идут против стрелки положительного направления. Проверь, находится ли точка слева или справа от оси y и выше или ниже оси x.

Считают координатами только расстояния до осей. Так упускают направление: расстояние само по себе не различает, с какой стороны от оси расположена точка. Именно знак вместе с числом задаёт смещение от начала координат. Для проверки укажи не только сколько единиц пройдено, но и куда.

Думают, что точка с нулевой координатой не принадлежит системе. Ноль означает отсутствие смещения по одному направлению, а не отсутствие самой точки. Если x = 0, точка лежит на оси y; если y = 0 — на оси x. Проверь это по записи и убедись, что оставшееся число задаёт положение вдоль соответствующей оси.

Связь с другими темами

Для работы с координатами нужны знания о числовой прямой: на ней учатся отмечать числа и понимать, чем отрицательное значение отличается от положительного. Также пригодятся координата точки на прямой и умение строить перпендикулярные прямые. Декартова система переносит эти идеи с одной прямой на плоскость.

Координаты помогают изображать геометрические фигуры и точно задавать положения их вершин. Позже с их помощью изучают зависимости между координатами точек: например, как изменение одного числа связано с изменением другого. Поэтому навык читать и строить точки становится основой для дальнейшей геометрии.

Что запомнить

• Декартова система задаётся двумя перпендикулярными осями с общим началом.
• Ось x называют осью абсцисс, ось y — осью ординат.
• Координаты точки записывают в порядке (x; y).
• Первая координата — абсцисса, вторая — ордината.
• Знак координаты зависит от направления относительно начала координат.
• Если абсцисса равна нулю, точка лежит на оси ординат; если ордината равна нулю — на оси абсцисс.