72. Координаты середины отрезка

Определения и обозначения

Середина отрезка — точка отрезка, равноудалённая от его концов. Если концы — A и B, середину можно обозначить буквой M. Это означает, что AM = MB: точка M делит отрезок на две равные части, поэтому по ней удобно описывать положение отрезка.

Координаты середины отрезка — абсцисса и ордината точки, которая делит отрезок пополам. Абсцисса — первая координата точки, ордината — вторая. Вместе они задают положение середины на координатной плоскости и позволяют найти её без чертежа.

Абсцисса середины отрезка — среднее арифметическое абсцисс концов. Среднее арифметическое двух чисел получают, складывая их и деля сумму на 2. Эта координата показывает, где середина расположена по горизонтали.

Ордината середины отрезка — среднее арифметическое ординат концов. Её находят по второй координате каждого конца, не смешивая её с абсциссами. Так определяют положение середины по вертикали.

Как это устроено

Пусть концы отрезка имеют координаты A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), а середина обозначена M(x; y). Нужно найти две координаты точки M: абсциссу x и ординату y. Первая пара чисел в записи точки отвечает за горизонтальное положение, вторая — за вертикальное. Поэтому каждую координату середины будем определять отдельно.

Рассмотрим проекции точек A, M и B на ось абсцисс, то есть их положения, перенесённые на горизонтальную ось. Поскольку M делит AB пополам, её проекция оказывается посередине между проекциями A и B. На оси расстояние измеряется разностью координат, поэтому координата посередине между x₁ и x₂ равна их среднему: x = (x₁ + x₂) / 2. Это верно и тогда, когда координаты отрицательные или лежат по разные стороны от нуля.

Теперь спроецируем те же точки на ось ординат. Так как середина делит отрезок пополам, её проекция на вертикальную ось также оказывается посередине между проекциями концов. Их координаты — y₁ и y₂, следовательно, ордината M равна y = (y₁ + y₂) / 2. Рассуждение такое же, как для горизонтальной оси, только используются вторые координаты.

Объединив результаты, получаем формулу M((x₁ + x₂) / 2; (y₁ + y₂) / 2). Сначала находят первую координату, используя только x₁ и x₂, затем вторую — только y₁ и y₂. Нельзя складывать абсциссу одного конца с ординатой другого: эти числа описывают разные направления на плоскости. Порядок концов можно выбрать любой, поскольку сложение не зависит от порядка слагаемых.

Формулу можно использовать и в обратном направлении, когда известны середина M(x; y) и один конец, например A(x₁; y₁). Запишите равенства x = (x₁ + x₂) / 2 и y = (y₁ + y₂) / 2, а затем найдите неизвестные x₂ и y₂. Умножив равенства на 2 и перенеся известные координаты, получим x₂ = 2x − x₁ и y₂ = 2y − y₁. Так из положения середины и одного конца восстанавливают другой конец.

Координаты середины отрезка

В таблице собраны формулы для отдельных координат и для точки целиком. Сначала определите, какую координату или точку нужно найти, затем возьмите координаты концов из нужного столбца. При вычислениях следите за знаками чисел.

Разбор задач

Найти середину по координатам концов

Найдите координаты середины отрезка AB, если A(2; −3), B(8; 5). Сначала отделим вычисление абсциссы от вычисления ординаты: так не перепутаем координаты разных направлений. Для каждой пары найдём среднее арифметическое.

1. Абсцисса середины: (2 + 8) / 2 = 10 / 2 = 5.
2. Ордината середины: (−3 + 5) / 2 = 2 / 2 = 1. Отрицательное число складываем с положительным с учётом знаков.
3. Записываем обе координаты вместе: M(5; 1).

Ответ: M(5; 1).

Найти конец по середине и другому концу

Точка M(4; 1) — середина отрезка AB, A(−2; 7). Найдите координаты точки B. Здесь неизвестны обе координаты конца, поэтому составим отдельное равенство для каждой координаты середины. Затем выразим из них координаты точки B, а не будем усреднять известные числа.

1. Для абсцисс: 4 = (−2 + x₂) / 2. Умножаем обе части на 2: 8 = −2 + x₂, откуда x₂ = 10.
2. Для ординат: 1 = (7 + y₂) / 2. Умножаем на 2: 2 = 7 + y₂, поэтому y₂ = −5.
3. Объединяем найденные значения в запись точки: B(10; −5).

Ответ: B(10; −5).

Проверить, делятся ли диагонали пополам

Диагонали четырёхугольника ABCD имеют концы A(−3; 2), C(5; 6) и B(1; −4), D(3; 6). Определите, делятся ли диагонали пополам. Диагонали AC и BD делятся пополам, если у них одна и та же середина. Поэтому найдём обе середины и сравним их координаты.

1. Для AC: абсцисса середины равна (−3 + 5) / 2 = 1, ордината — (2 + 6) / 2 = 4. Получаем середину (1; 4).
2. Для BD: абсцисса середины равна (1 + 3) / 2 = 2, ордината — (−4 + 6) / 2 = 1. Получаем середину (2; 1).
3. Сравниваем пары: (1; 4) и (2; 1) не совпадают, значит, общей середины нет.

Ответ: диагонали не делятся пополам.

Типичные ошибки

Смешивать разные координаты. Например, нельзя усреднять абсциссу A и ординату B: они относятся к разным осям. Такую ошибку допускают, когда воспринимают запись точки как набор чисел без учёта их порядка. Проверьте, что в первой формуле стоят только абсциссы, а во второй — только ординаты.

Забывать делить сумму на 2. Сумма координат концов ещё не является координатой середины: она вдвое больше нужного среднего значения. Ошибка возникает, если остановиться после сложения. Проверьте, что каждую сумму разделили на 2.

Терять знак отрицательной координаты. Например, −3 + 5 = 2, а не 8. При невнимательном сложении минус легко пропустить, особенно если вторая координата положительная. Перед делением отдельно проверьте результат сложения с учётом знаков.

Усреднять значения при поиске неизвестного конца. Если середина и один конец известны, неизвестную координату нужно выразить из равенства для середины. Ошибка появляется, когда знакомую формулу применяют к уже известным координатам, забывая, что неизвестен конец. Подставьте найденное значение обратно: вычисленная середина должна совпасть с заданной.

Связь с другими темами

Для работы с формулой нужно уметь читать и записывать координаты точки на координатной плоскости: первая координата — абсцисса, вторая — ордината. Также понадобятся действия с положительными и отрицательными числами, потому что координаты могут иметь разные знаки. Формула середины помогает проверять, делят ли диагонали четырёхугольника друг друга пополам, и решать другие задачи на координаты фигур. В таких задачах она связывает положение отдельных точек с устройством всей фигуры.

Что запомнить

• Если A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), то координаты середины M равны ((x₁ + x₂) / 2; (y₁ + y₂) / 2).
• Абсциссу середины находят по абсциссам концов.
• Ординату середины находят по ординатам концов.
• При сложении координат учитывают их знаки.
• Если известны середина и один конец, координаты второго конца можно найти из формулы середины.