25. Координаты середины отрезка

Определения и обозначения

Координатная прямая — прямая с выбранными началом отсчёта, единичным отрезком и положительным направлением. Каждой её точке соответствует число — координата, а каждому числу соответствует точка. По координате можно определить положение точки и расстояние между точками на прямой.

Координатная плоскость образована двумя взаимно перпендикулярными координатными осями с общим началом отсчёта. Положение точки задают упорядоченной парой (x; y): первое число называют абсциссой, второе — ординатой. Порядок важен: по абсциссе находят положение относительно горизонтальной оси, по ординате — относительно вертикальной.

Середина отрезка — точка отрезка, которая делит его на два отрезка равной длины. Она находится на одинаковом расстоянии от обоих концов, поэтому лежит между ними. Это свойство позволяет находить середину по координатам, не выполняя точное построение.

Координаты середины отрезка — координаты точки, делящей отрезок пополам. Для концов A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) середина M имеет координаты M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2). Формула отдельно связывает абсциссы и отдельно ординаты; она пригодится как при поиске середины, так и при восстановлении неизвестного конца.

Как это устроено

Пусть на координатной прямой концы отрезка имеют координаты a и b, а середина — m. Расстояния от середины до концов равны: |m − a| = |b − m|. Если, например, a ≤ m ≤ b, то это равенство записывается как m − a = b − m. Переносим слагаемые: 2m = a + b, значит, m = (a + b)/2 — среднее арифметическое координат концов.

На плоскости середина M равноудалена от A и B, но удобнее увидеть нужные равенства через проекции отрезка на оси. Горизонтальное перемещение между концами определяется разностью абсцисс, вертикальное — разностью ординат. Поскольку M делит отрезок пополам, её проекция на горизонтальную ось оказывается посередине проекций A и B, и абсцисса удовлетворяет равенству xₘ − x₁ = x₂ − xₘ. Аналогично для ординат: yₘ − y₁ = y₂ − yₘ.

Решим эти два равенства отдельно. Из xₘ − x₁ = x₂ − xₘ получаем 2xₘ = x₁ + x₂, поэтому xₘ = (x₁ + x₂)/2. Из yₘ − y₁ = y₂ − yₘ следует 2yₘ = y₁ + y₂, значит, yₘ = (y₁ + y₂)/2. Следовательно, если A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), то M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2).

Геометрический смысл формул — усреднение соответствующих координат. Чтобы получить абсциссу M, складывают x-координаты концов; чтобы получить ординату M, складывают их y-координаты. Координаты разных осей не смешивают: например, x₁ не складывают с y₂. Деление каждой суммы на два показывает, что берётся середина между двумя значениями.

Наклон отрезка не меняет рассуждение: его горизонтальная и вертикальная проекции делятся серединой пополам. У горизонтального отрезка ординаты концов одинаковы, и их среднее равно этой же ординате; у вертикального таким же образом сохраняется абсцисса. Отрицательные значения тоже подставляют со своими знаками: если концы по разные стороны от нуля, средняя координата окажется между ними. Поэтому формулы подходят для отрезков любого направления и положения.

Координаты середины отрезка

Сначала определите, где задан отрезок: на прямой или на плоскости, затем подставьте координаты концов в нужную строку. Для горизонтального и вертикального отрезков таблица сразу показывает, какая координата не меняется. Во всех случаях проверьте, что в ответе каждая координата находится между соответствующими координатами концов.

Разбор задач

Задача 1. Найти координату середины отрезка с концами A(−4) и B(10) на координатной прямой. Здесь достаточно усреднить координаты концов. Числа расположены по разные стороны от нуля, поэтому особенно важно сохранить знак − у координаты A.

1. Записываем формулу: xₘ = (x₁ + x₂)/2.
2. Подставляем координаты: xₘ = (−4 + 10)/2.
3. Сначала складываем: −4 + 10 = 6, затем делим 6 на 2 и получаем 3.

Ответ: координата середины равна 3. Она действительно находится между −4 и 10, причём расстояния до концов равны 7.

Задача 2. Найти координаты середины отрезка AB, если A(−2; 5), B(6; −1). Нужно вычислить две координаты, не смешивая их: по горизонтали используем −2 и 6, по вертикали — 5 и −1. Отдельная запись вычислений помогает не потерять знак отрицательного числа.

1. Абсцисса середины: xₘ = (−2 + 6)/2 = 4/2 = 2.
2. Ордината середины: yₘ = (5 + (−1))/2 = 4/2 = 2.
3. Объединяем результаты в упорядоченную пару: M(2; 2).

Ответ: M(2; 2). Проверка по координатам показывает, что 2 лежит между −2 и 6, а также между −1 и 5.

Задача 3. Известны A(3; −2) и середина M(−1; 4) отрезка AB. Требуется найти B, поэтому неизвестны сразу его абсцисса и ордината. Здесь формулу не применяют к известным числам как готовое среднее: составляют уравнения и выражают из них координаты B.

1. Обозначим B(x₂; y₂) и запишем −1 = (3 + x₂)/2, 4 = (−2 + y₂)/2.
2. Умножаем первое равенство на 2: −2 = 3 + x₂, откуда x₂ = −5.
3. Умножаем второе равенство на 2: 8 = −2 + y₂, откуда y₂ = 10.
4. Записываем найденные координаты вместе: B(−5; 10).

Ответ: B(−5; 10). Проверка: полусумма абсцисс (3 и −5) равна −1, а полусумма ординат (−2 и 10) равна 4.

Типичные ошибки

Смешивать координаты разных осей. Иногда складывают абсциссу одного конца с ординатой другого, потому что все числа записаны рядом. Но каждая координата описывает своё направление, поэтому такое сложение не даёт положения середины. Проверьте подстановку по формуле: для x должны использоваться только x₁ и x₂, для y — только y₁ и y₂.

Терять знаки при сложении. Ошибка часто возникает, если координаты имеют разные знаки или обе отрицательны. Знак относится к числу целиком: например, −2 + 6 = 4, а не 8. Перед делением проверьте результат сложения и убедитесь, что среднее находится между координатами концов.

Забывать деление на два. Сумма координат концов — ещё не координата середины: она соответствует удвоенному значению середины. Такая ошибка появляется, если вспомнить сложение, но пропустить деление в формуле. Для самопроверки подставьте ответ в равенство 2xₘ = x₁ + x₂ или 2yₘ = y₁ + y₂.

Повторно искать среднее при нахождении неизвестного конца. Если известны середина и один конец, неизвестная координата не равна среднему этих двух известных чисел. Нужно подставить значения в формулу середины и решить уравнение относительно неизвестной. Проверьте найденный конец повторной подстановкой: полусуммы должны дать координаты M.

Связь с другими темами

Для работы с формулами нужно уметь задавать точки координатами, находить на плоскости абсциссу и ординату и понимать, что означает порядок их записи. Обоснование опирается на понятия середины отрезка, равных отрезков и расстояния между точками. Координаты середины используют в задачах на геометрические фигуры, когда известны координаты вершин, а также при поиске центра симметрии отрезка. Умение восстанавливать неизвестный конец связывает геометрический смысл с решением линейных уравнений.

Что запомнить

• На координатной прямой координата середины равна полусумме координат концов.
• Абсцисса середины — полусумма абсцисс концов.
• Ордината середины — полусумма ординат концов.
• Формулы применимы при любых знаках координат и любом направлении отрезка.
• Чтобы найти неизвестный конец по середине и другому концу, нужно решить формулы середины относительно его координат.