26. Преобразование симметрии в пространстве

Определения и обозначения

Центральная симметрия — преобразование пространства относительно точки O, при котором O является серединой отрезка, соединяющего любую точку с её образом. Иными словами, точка A переходит в A′ так, что AO = OA′ и точки лежат по разные стороны от O. Это определение нужно, чтобы точно строить образ точки и проверять симметрию фигуры относительно центра.

Осевая симметрия — преобразование пространства относительно прямой: образ точки получают поворотом вокруг этой прямой на 180°. Прямая называется осью симметрии, и каждая её точка остаётся на месте. Такое определение помогает отличать пространственную осевую симметрию от обычного отражения относительно прямой на плоскости.

Симметрия относительно плоскости — преобразование, при котором плоскость является серединной перпендикулярной плоскостью отрезка, соединяющего точку и её образ. Если A переходит в A′, то AA′ перпендикулярен плоскости, а точки пересечения отрезка с плоскостью делят его пополам. Это позволяет построить образ точки через перпендикуляр к заданной плоскости.

Ось, центр и плоскость симметрии — соответственно прямая, точка и плоскость, которые остаются на месте при соответствующем преобразовании. У центральной симметрии неподвижен центр, у осевой — все точки оси, у плоскостной — все точки плоскости. Эти объекты служат главными ориентирами при построении и проверке симметрии.

Как это устроено

При центральной симметрии сначала соединяют точку A с центром O. Образ A′ должен лежать на продолжении прямой AO за центр, потому что центр обязан быть серединой AA′, а значит, концы отрезка находятся на одной прямой по разные стороны от O. Поэтому достаточно провести прямую AO и отложить от O в противоположном направлении отрезок, равный OA.

При симметрии относительно плоскости образ строят иначе: через точку проводят перпендикуляр к плоскости. Основание этого перпендикуляра является серединой AA′, поскольку плоскость должна быть серединной перпендикулярной плоскостью отрезка. Поэтому A и A′ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости и по разные стороны от неё.

При осевой симметрии точка поворачивается вокруг оси на 180°, поэтому расстояние от неё до оси не меняется. Точка движется по окружности, центр которой лежит на оси, а плоскость этой окружности перпендикулярна оси. Точки самой оси не перемещаются, потому что поворот вокруг прямой оставляет каждую точку этой прямой на месте.

Все три преобразования сохраняют расстояния между точками: центральная симметрия меняет направления на противоположные, осевая симметрия является поворотом, а плоскостная — отражением на другую сторону плоскости. Если отрезок AB переходит в A′B′, то AB = A′B′. Поэтому сохраняются углы, параллельность, длины и форма фигур, хотя их положение в пространстве может измениться.

Сравнение преобразований симметрии в пространстве

Таблицу удобно использовать, когда нужно быстро выбрать способ построения образа точки. Сначала найдите объект, задающий преобразование, затем проверьте, какие точки неподвижны и какое условие выполняется для отрезка с образом. Последняя строка напоминает, почему симметричные фигуры имеют равные соответствующие элементы.

Разбор задач

Задача 1. Построить точку, симметричную данной точке A относительно точки O. Искомую точку обозначим A′. Нужно добиться, чтобы O была серединой отрезка AA′.

1. Проведите прямую AO, так как точка и её образ при центральной симметрии лежат на одной прямой с центром.
2. Продолжите прямую за точку O и отложите отрезок OA′, равный OA.
3. Проверьте, что точки A и A′ находятся по разные стороны от O и OA = OA′.

Ответ: точка A′, расположенная на продолжении AO за O так, что O — середина AA′.

Задача 2. Точка A находится на расстоянии 4 см от плоскости α. Найти расстояние от её образа A′ при симметрии относительно α до этой плоскости. Плоскость α делит AA′ пополам и перпендикулярна этому отрезку, поэтому точки находятся от неё на одинаковых расстояниях.

1. Запишите расстояние от A до α: 4 см.
2. Используйте свойство симметрии относительно плоскости: расстояния точек A и A′ до α равны.
3. Следовательно, расстояние от A′ до α также равно 4 см.

Ответ: 4 см.

Задача 3. Куб поворачивают на 180° вокруг прямой, проходящей через центры двух противоположных граней. Объясним, почему куб переходит в себя. Ось проходит через центр куба и одинаково расположена относительно его вершин и граней.

1. При повороте каждая вершина куба переходит в вершину, симметрично расположенную относительно оси.
2. Рёбра и грани переходят в соответствующие рёбра и грани, поскольку поворот сохраняет расстояния и углы.
3. Множество всех вершин и граней после поворота совпадает с исходным множеством куба.

Ответ: куб переходит в себя, потому что поворот переставляет его соответствующие вершины и грани, не меняя саму фигуру.

Типичные ошибки

При центральной симметрии иногда откладывают равные отрезки от A в одном направлении. Так центр O не становится серединой AA′, хотя равенство длин сохраняется. Проверьте, что A и A′ лежат по разные стороны от O и что O находится между ними.

Осевая симметрия в пространстве часто ошибочно воспринимается как отражение в плоскости. На самом деле это поворот на 180° вокруг прямой, поэтому точки перемещаются по окружностям с центрами на оси. Для проверки определите, сохраняется ли расстояние до оси и неподвижны ли точки самой оси.

При построении образа относительно плоскости проводят наклонную вместо перпендикуляра. В таком случае плоскость не будет серединной перпендикулярной плоскостью отрезка AA′. Проверьте, что AA′ перпендикулярен плоскости и пересекает её в своей середине.

Нельзя считать, что при симметрии остаётся на месте любая точка. Неподвижны только центр, ось или плоскость соответствующего преобразования. Назовите объект симметрии и проверьте, принадлежит ли ему рассматриваемая точка.

Связь с другими темами

Для построения образов нужны знания о перпендикулярности прямой и плоскости, середине отрезка и повороте в пространстве. Эти понятия объясняют, где должен находиться образ точки и какие отрезки нужно сравнивать.

Симметрия связана с движениями пространства и равенством фигур. Поскольку расстояния сохраняются, преобразование переводит фигуру в равную ей фигуру и помогает сравнивать соответствующие элементы.

Симметрия особенно полезна при изучении многогранников. Она позволяет находить равные грани и рёбра, определять положение элементов и доказывать равенство пространственных фигур.

Что запомнить

• Центр центральной симметрии — середина отрезка, соединяющего точку и её образ.
• Осевая симметрия в пространстве — поворот на 180° вокруг прямой.
• При симметрии относительно плоскости отрезок, соединяющий точку с образом, перпендикулярен этой плоскости.
• Точки центра, оси или плоскости симметрии остаются неподвижными.
• Все три преобразования сохраняют расстояния.
• Фигура симметрична относительно преобразования, если её образ совпадает с ней.