24. Расстояние между точками

Определения и обозначения

Расстояние между двумя точками — длина отрезка, соединяющего эти точки. Его обычно обозначают двумя буквами, например AB. Выбор единицы измерения меняет числовое значение длины, но не саму длину: один и тот же отрезок можно измерить в сантиметрах или метрах.

Координаты точки в пространстве — три числа, которые задают её положение относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Их записывают в определённом порядке: сначала координату по оси Ox, затем по Oy и по Oz; например, A(x, y, z). Координаты нужны, чтобы описывать расположение точки числами и вычислять расстояния без чертежа.

Прямоугольная система координат в пространстве — три взаимно перпендикулярные координатные оси Ox, Oy и Oz с общим началом O. Каждая точка получает три координаты, показывающие её положение относительно этих осей. По системе координат можно сравнивать точки и находить расстояния между ними с помощью формулы.

Как это устроено

Пусть заданы точки A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂). Чтобы перейти от A к B, нужно сместиться по каждой оси: изменение координаты x равно x₂ − x₁, по оси y — y₂ − y₁, по оси z — z₂ − z₁. Эти разности показывают направления и величины смещений, а знак указывает направление.

Сначала можно рассмотреть движение в плоскости, например в плоскости Oxy. Смещения по двум её перпендикулярным направлениям образуют катеты прямоугольного треугольника, а расстояние между проекциями точек — гипотенузу. По теореме Пифагора квадрат этой длины равен сумме квадратов смещений по x и y.

В пространстве остаётся учесть смещение вдоль третьей оси. Отрезок между точками и отрезок между их проекциями на координатную плоскость образуют ещё один прямоугольный треугольник: смещение по z — один катет, расстояние между проекциями — другой. Поэтому к квадрату расстояния в плоскости добавляют квадрат разности координат z.

Так получается формула AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). Каждое слагаемое соответствует квадрату смещения вдоль одной оси, а корень возвращает от квадрата расстояния к длине отрезка. Именно поэтому нельзя просто сложить разности или остановиться на сумме квадратов.

Порядок вычитания координат не влияет на ответ: если поменять местами точки, разность изменит знак, но её квадрат останется тем же. Когда у точек совпадает координата по одной оси, их смещение вдоль этой оси равно нулю. Если точки лежат на одной оси, различается только одна координата, поэтому расстояние равно модулю этой разности.

Формула расстояния между точками в пространстве и её частные случаи

В таблице показано, какие слагаемые формулы остаются при разных расположениях точек. Сначала сравни координаты точек по каждой оси, затем подставь разности в общий случай. Нулевые слагаемые можно сразу убрать.

Разбор задач

Задача 1. Найдите расстояние между A(1, 2, 3) и B(4, 6, 3). Третьи координаты точек совпадают, значит, смещения вдоль Oz нет. Подставим данные в формулу и вычислим длину.

1. Записываем разности: 4 − 1 = 3, 6 − 2 = 4, 3 − 3 = 0.
2. Возводим их в квадрат и складываем: AB = √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5.

Ответ: AB = 5. Проверка в плоскости Oxy даёт прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, его гипотенуза равна 5.

Задача 2. Найдите расстояние между C(−2, 1, 4) и D(1, 5, 4). Совпадающая координата z означает, что точки лежат в одной плоскости, параллельной Oxy. Поэтому расстояние можно проверить как в двумерной задаче: по смещениям вдоль x и y.

1. Находим разности соответствующих координат: 1 − (−2) = 3, 5 − 1 = 4, 4 − 4 = 0.
2. Подставляем в формулу: CD = √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5.
3. Проверяем по теореме Пифагора в плоскости: катеты равны 3 и 4, поэтому гипотенуза равна √(9 + 16) = 5.

Ответ: CD = 5. Проверка показывает, что результат формулы совпадает с длиной гипотенузы в прямоугольном треугольнике.

Задача 3. Точка P имеет координаты (2, −1, 3). Найдите расстояние до точки Q на оси Oz, если координата z точки Q положительна и PQ = 5. На оси Oz координаты x и y равны нулю, поэтому Q имеет вид (0, 0, z). Условие о положительной координате понадобится после решения уравнения.

1. Подставляем координаты и расстояние: 5² = (0 − 2)² + (0 − (−1))² + (z − 3)².
2. Упрощаем: 25 = 4 + 1 + (z − 3)², значит, (z − 3)² = 20.
3. Получаем z = 3 ± √20 = 3 ± 2√5. Из этих значений только 3 + 2√5 положительно.

Ответ: координата точки Q равна z = 3 + 2√5. Второе значение не подходит, поскольку нарушает условие z > 0.

Типичные ошибки

• Складывают разности координат без квадратов. Смещения направлены по перпендикулярным осям, поэтому их нельзя просто складывать как длины: расстояние находят по теореме Пифагора. Проверь себя: в формуле у каждой разности должен быть квадрат до сложения.
• Забывают извлечь корень. Сумма квадратов разностей равна квадрату расстояния, а не самой длине. Ошибка возникает, когда вычисление останавливают на промежуточном шаге. Проверь, что после сложения квадратов записан квадратный корень.
• Вычитают координаты разных осей. Например, x одной точки нельзя сравнивать с y другой: это величины, относящиеся к разным направлениям. Выписывай пары отдельно: x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁. Так проще заметить несоответствие.
• Оставляют слагаемое с одинаковыми координатами. Иногда совпадение координат замечают, но забывают, что их разность равна нулю, а ноль в квадрате тоже равен нулю. Поэтому слагаемое не влияет на расстояние. Проверь каждую пару координат: если числа одинаковы, соответствующий квадрат можно убрать.

Связь с другими темами

Для работы с расстояниями нужно уметь задавать координаты точки в пространстве и понимать, как устроена прямоугольная система координат. Ещё одно необходимое основание — теорема Пифагора: именно она связывает перпендикулярные смещения с длиной отрезка. Формула расстояния пригодится при составлении уравнения сферы, а также в задачах на координаты и векторы в пространстве. В таких задачах она помогает перейти от координат к длине.

Что запомнить

• Расстояние между точками равно длине соединяющего их отрезка.
• Вычисляй разности отдельно по каждой координатной оси.
• Возводи каждую разность координат в квадрат.
• Складывай квадраты разностей и извлекай квадратный корень.
• Если координаты по одной оси совпадают, соответствующее слагаемое равно нулю.
• Расстояние неотрицательно и не зависит от порядка точек.