73. Расстояние между точками

Определения и обозначения

Расстояние между точками — длина отрезка, соединяющего эти точки. Например, расстояние между A и B обозначают AB. Длина не зависит от того, начинаем ли мы путь от A к B или от B к A: соединяющий точки отрезок остаётся тем же самым.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками, которые называют его концами. Именно эти концы задают, между какими точками измеряют расстояние. Поэтому, чтобы найти расстояние, достаточно узнать длину отрезка с нужными концами.

Координатная прямая — прямая, на которой выбраны начало отсчёта, единичный отрезок и положительное направление. Положение каждой точки на ней задают числом — координатой точки. Координаты позволяют находить расстояния вычислением, не измеряя каждый раз отрезок линейкой.

Как это устроено

Расстояние между двумя точками определяется длиной отрезка, который их соединяет. Это следует из самого смысла расстояния: нужно измерить, насколько далеко одна точка от другой. Поэтому на обычном чертеже достаточно приложить линейку к отрезку и определить его длину, учитывая выбранную единицу измерения.

На координатной прямой расстояние между точками с координатами a и b находят по формуле |a − b|. Разность показывает, на сколько единичных отрезков координаты отстоят друг от друга, но её знак зависит от порядка вычитания. Модуль убирает этот знак, потому что расстояние должно быть одинаковым, независимо от того, какую координату вычитают первой.

Представь, что между двумя точками помещается несколько единичных отрезков. Если каждый единичный отрезок имеет длину 1, то числовое расстояние равно их количеству. Если длина единичного отрезка равна l, а между точками укладывается n таких отрезков, обычная длина составляет n · l. Так координатный подсчёт связывается с измерением на чертеже.

Если координаты точек совпадают, их разность равна нулю, поэтому расстояние тоже равно нулю: точки находятся в одном месте. Чем дальше точки друг от друга на прямой, тем больше модуль разности их координат. Это можно увидеть по числовым промежуткам между координатами: более длинному промежутку соответствует большее расстояние.

Проверяя вычисление, сначала убедись, что результат неотрицательный. Затем сравни его с расположением точек на координатной прямой: расстояние должно соответствовать числу единичных промежутков между ними. Такая проверка помогает заметить ошибку со знаком или неверный подсчёт промежутков, даже если вычисления на первый взгляд выглядят правдоподобно.

Нахождение расстояния между точками на координатной прямой

Сначала найди, какая координата меньше, если хочешь обойтись без модуля: вычти меньшую из большей. Если не хочется определять порядок, используй |a − b| — формула подходит всегда. При равных координатах разность равна нулю, значит, расстояние также нулевое.

Разбор задач

Задача 1

Точки A и B лежат на координатной прямой и имеют координаты 2 и 7. Найди расстояние AB. Координата 2 меньше 7, поэтому точки расположены в порядке возрастания. Можно вычесть меньшую координату из большей или сразу применить модуль разности.

1. Запишем координаты: xₐ = 2, xᵦ = 7.
2. Найдём модуль разности: AB = |2 − 7| = |−5| = 5.
3. Проверим: между 2 и 7 пять единичных промежутков, результат подходит.

Ответ: AB = 5.

Задача 2

Точки C и D имеют координаты −4 и 3. Найди расстояние CD. Точка с отрицательной координатой расположена слева от начала отсчёта, а точка с положительной — справа. Значит, расстояние включает промежутки от −4 до 0 и от 0 до 3; формула модуля сразу учитывает оба участка.

1. Запишем координаты: x꜀ = −4, xᴅ = 3.
2. Вычислим расстояние: CD = |−4 − 3| = |−7| = 7.
3. Проверим по прямой: от −4 до 0 четыре единицы, от 0 до 3 ещё три, всего семь.

Ответ: CD = 7.

Задача 3

Точка A имеет координату −2, а расстояние от A до точки B равно 5. Найди возможные координаты B. Искомая точка может находиться как правее A, так и левее A: расстояние указывает длину промежутка, но не его направление. Поэтому нужно учесть оба положения, решая условие с модулем.

1. Обозначим координату B через x и запишем условие: |x − (−2)| = 5, то есть |x + 2| = 5.
2. Точка на 5 единиц правее −2 имеет координату −2 + 5 = 3.
3. Точка на 5 единиц левее −2 имеет координату −2 − 5 = −7.

Ответ: координата B может быть равна 3 или −7.

Типичные ошибки

• Записывают разность без модуля. Например, при вычитании координаты правой точки из левой можно получить отрицательное число. Такую ошибку допускают, забывая, что порядок вычитания выбирают сами; проверь себя: расстояние как длина не может быть меньше нуля.
• Вычитают координаты в заданном порядке и не проверяют знак. Если первой стоит большая координата, результат может оказаться отрицательным. Чтобы не зависеть от порядка, используй модуль разности или сначала определи меньшую координату и вычти её из большей.
• Складывают координаты точек по разные стороны от начала отсчёта. Знаки координат могут навести на мысль о сложении, но расстояние находят по модулю разности, а не по сумме знаковых координат. Проверь результат на прямой: между точками учитываются все промежутки, в том числе проходящие через ноль.
• Считают расстояние между совпадающими точками равным единице. Единичный отрезок — это выбранная мера длины, а не обязательное расстояние между любыми точками. Если координаты одинаковые, точки совпадают и между ними нет ни одного промежутка; значит, расстояние равно нулю.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания об отрезке, его длине и единичном отрезке: они помогают понять, что именно измеряется и в каких единицах. Также нужно уметь отмечать числа на координатной прямой, сравнивать их и находить модуль числа. Позже понятие расстояния пригодится при работе с координатами на плоскости и в геометрических задачах, где требуется находить длины отрезков.

Что запомнить

• Расстояние между точками — длина соединяющего их отрезка.
• Расстояние всегда неотрицательно.
• Расстояние от точки до самой себя равно нулю.
• На координатной прямой расстояние между точками с координатами a и b равно |a − b|.
• Порядок вычитания координат не влияет на расстояние, если разность взята по модулю.
• Если координата точки неизвестна, условие о расстоянии можно записать через модуль разности.