23. Введение декартовых координат в пространстве

Определения и обозначения

Декартова система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и выбранными единичными отрезками. Единичный отрезок задаёт масштаб: он показывает, какой длине соответствует одна единица. Такая система нужна, чтобы описывать положение точек числами, а не только словами.

Координатные оси Ox, Oy и Oz задают три направления координат и образуют систему координат. Буква O обозначает общее начало осей, а буквы x, y и z — направления, по которым измеряют положение точки. Каждая ось отвечает за свою координату, поэтому эти обозначения нельзя смешивать.

Координатные плоскости Oxy, Oxz и Oyz — это плоскости, проходящие через соответствующие пары координатных осей. Плоскость Oxy содержит оси Ox и Oy, Oxz — Ox и Oz, а Oyz — Oy и Oz. Они помогают определить, в какой части пространства находится точка и какие координаты у неё равны нулю.

Координаты точки — упорядоченная тройка чисел (x; y; z), определяющая её положение относительно выбранной системы координат. Числа показывают, насколько далеко и в какую сторону точка смещена по каждому из трёх направлений. Тройка нужна, чтобы однозначно задать точку в пространстве.

Как это устроено

Сначала выбирают точку O — начало координат, а затем проводят через неё три взаимно перпендикулярные прямые. На каждой прямой выбирают положительное направление и единичный отрезок; направление в обратную сторону считают отрицательным. Перпендикулярность нужна, чтобы каждое направление было самостоятельным и не смешивалось с двумя другими. Так получают согласованный способ измерять положение в любой точке пространства.

Одного числа недостаточно, потому что оно сообщает только смещение вдоль одного направления. Для точки нужно определить смещение по Ox, Oy и Oz, поэтому записывают три числа (x; y; z). Первое отвечает за движение вдоль Ox, второе — вдоль Oy, третье — вдоль Oz. Изменение одной координаты перемещает точку только в соответствующем направлении, если две остальные координаты остаются прежними.

Знак координаты определяется тем, в какую сторону от начала отсчёта расположена точка по данному направлению. Положительное значение означает движение по выбранному положительному направлению оси, отрицательное — против него. Координатные плоскости делят пространство на области, поэтому положение точки относительно плоскостей помогает проверить знаки её координат. Например, плоскость Oyz отделяет точки с положительным x от точек с отрицательным x.

Плоскость Oxy перпендикулярна оси Oz, и у всех её точек смещение вдоль Oz равно нулю; поэтому z = 0. Аналогично, у точек плоскости Oxz координата y равна нулю, а у точек Oyz — координата x. Если точка лежит на оси, то она одновременно принадлежит двум координатным плоскостям. Поэтому две координаты у неё равны нулю, а координата вдоль самой оси может быть любой.

Чтобы проверить тройку чисел, достаточно убедиться, что каждому числу назначено своё направление и оно задано с учётом выбранного масштаба. Для построения от начала O последовательно откладывают смещения по осям: отрицательное число — против положительного направления, положительное — по нему. Затем через полученные положения проводят линии, параллельные другим осям, и находят их пересечение. Так можно построить точку с любыми заданными координатами, не меняя порядок x, y, z.

Координатные плоскости и оси в пространстве

В таблице указана координата, которая должна быть равна нулю для принадлежности плоскости или оси. Для оси нулевыми становятся две координаты — те, которые отвечают за направления, перпендикулярные этой оси. Проверяя точку, сопоставляйте её координаты с нужной строкой и сохраняйте порядок x, y, z.

Разбор задач

Задача 1. Запишите координаты точки, лежащей на оси Oy на расстоянии 4 единиц от начала координат в положительном направлении. Поскольку точка находится на Oy, она не смещена ни по Ox, ни по Oz. Положительное направление определяет знак оставшейся координаты.

1. Для точек оси Oy координаты x и z равны нулю. Поэтому тройка имеет вид (0; y; 0).
2. От начала координат точка удалена на 4 единицы вдоль Oy. Значит, значение y равно 4, а не −4, поскольку направление положительное.
3. Подставляем y = 4 в тройку и проверяем: две координаты нулевые, точка лежит на нужной оси. Ответ: (0; 4; 0).

Задача 2. Определите, в какой координатной плоскости лежит точка A(−2; 0; 5), и постройте её. Сначала проверим нулевую координату, поскольку именно она указывает плоскость. Затем представим перемещение по осям с учётом знаков чисел.

1. У точки координата y равна нулю. Значит, A лежит в плоскости Oxz, которая задаётся условием y = 0.
2. От O откладываем 2 единицы против положительного направления Ox и 5 единиц по положительному направлению Oz. Смещения по Oy нет.
3. Находим точку с такими смещениями в плоскости Oxz. Проверка координат подтверждает ответ: A принадлежит плоскости Oxz.

Задача 3. Точка B имеет координаты (3; −2; 4). Найдите координаты точки, симметричной B относительно плоскости Oyz, и объясните построение. Плоскость Oyz задаётся условием x = 0, поэтому отражение меняет положение точки только относительно этой плоскости. Расстояние до плоскости сохраняется, а координаты в направлениях, лежащих в плоскости, не меняются.

1. У точки B координата x равна 3. При отражении через Oyz точка оказывается на таком же расстоянии от плоскости, но по другую сторону, значит, x становится равен −3.
2. Координаты y и z сохраняются, потому что их направления параллельны плоскости Oyz. Они остаются равными −2 и 4.
3. Записываем координаты в прежнем порядке x, y, z. Ответ: B′(−3; −2; 4); при построении достаточно отразить положение по Ox, сохранив остальные смещения.

Типичные ошибки

Путают порядок координат x, y, z и переставляют числа местами. Это происходит, когда тройку воспринимают как набор чисел, хотя каждое место в ней связано со своей осью. Проверяйте запись по соответствиям: первое число — Ox, второе — Oy, третье — Oz. При построении полезно подписывать координаты до откладывания.

Иногда координату считают расстоянием от точки до плоскости. Но расстояние неотрицательно, а координата может быть отрицательной и показывает направление относительно оси. Например, координата x = −2 не означает отрицательное расстояние: точка находится в двух единицах от O в отрицательном направлении Ox. Для проверки отличайте длину отрезка до плоскости от знакового смещения.

Можно забыть, что точка на координатной плоскости имеет нулевую координату, соответствующую перпендикулярной оси. Ошибка возникает, если ориентироваться только на название плоскости: например, для Oxy ошибочно обнуляют x или y. Проверка проста: выясните, какая ось перпендикулярна данной плоскости, и занулите координату этой оси. Так, для Oxy это z.

При построении отрицательную координату иногда откладывают по положительному направлению оси. Это случается, если замечают число, но не учитывают его знак. Перед построением отдельно определите направление каждого смещения: плюс — по выбранной стрелке оси, минус — против неё. В конце проверьте, что координаты полученной точки совпадают с заданной тройкой.

Связь с другими темами

Для работы с пространственными координатами нужно уметь находить положение числа на координатной прямой и точки на координатной плоскости. Также пригодится понимание взаимной перпендикулярности прямых и плоскостей: оно объясняет устройство трёх осей и координатных плоскостей. Освоенные координаты затем используют при нахождении расстояния между точками и координат середины отрезка. Системы координат также помогают описывать векторы и задавать уравнения прямых и плоскостей в пространстве.

Что запомнить

• В пространстве для задания положения точки нужны три координаты.
• Координаты записывают в порядке x, y, z.
• Каждая координата относится к своей координатной оси.
• Точка принадлежит плоскости Oxy, если z = 0.
• Точка принадлежит плоскости Oxz, если y = 0.
• Точка принадлежит плоскости Oyz, если x = 0.
• У точки на координатной оси две координаты равны нулю.