§ 4. Декартовы координаты и векторы в пространстве

Определения и обозначения

Декартова система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и выбранными положительными направлениями. Оси обычно обозначают x, y и z. Такая система служит пространственной «системой ориентиров»: относительно неё можно задавать положение точек и описывать геометрические действия числами.

Координаты точки — числа x, y и z, задающие её положение относительно координатных осей; запись точки имеет вид M(x; y; z). Первое число относится к оси x, второе — к y, третье — к z. Этот порядок позволяет однозначно восстановить точку и не перепутать её смещения в разных направлениях.

Координаты вектора — числа, равные приращениям координат при переходе от начала вектора к его концу. Например, координаты AB показывают, насколько нужно изменить каждую координату точки A, чтобы попасть в B. Такая запись помогает вычислять векторы, не строя их отдельно на чертеже.

Радиус-вектор точки — вектор, проведённый из начала координат к этой точке. Его координаты совпадают с координатами точки: если M(x; y; z), то OM = (x; y; z). Поэтому радиус-вектор связывает запись точки с записью вектора и позволяет применять к точкам правила действий с векторами.

Как это устроено

Чтобы построить декартову систему координат, проводят через одну точку три взаимно перпендикулярные прямые и выбирают на каждой положительное направление. Перпендикулярность важна потому, что смещения вдоль осей не смешиваются: движение по одной оси не меняет координаты по двум другим. Поэтому для точки достаточно измерить три независимых смещения, и полученные числа однозначно задают её положение. Если бы направления осей зависели друг от друга, одни и те же смещения можно было бы описать неоднозначно.

Нулевая координата означает, что точка не смещена от соответствующей координатной плоскости. Например, у точки на плоскости Oxy координата z равна нулю, а на Oxz равна нулю y. Координатная ось является пересечением двух координатных плоскостей, поэтому на ней сразу две координаты равны нулю: на Ox это y = 0 и z = 0. Так можно определить, где находится точка, даже не представляя её точное положение в пространстве.

Пусть начало вектора AB — A(x₁; y₁; z₁), а конец — B(x₂; y₂; z₂). При переходе от A к B первая координата меняется на x₂ − x₁, вторая — на y₂ − y₁, третья — на z₂ − z₁, поэтому AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Вычитание именно в таком порядке сохраняет направление: при перестановке точек получится противоположный вектор BA. Проверка проста: прибавьте найденные приращения к координатам A — должны получиться координаты B.

Равные векторы имеют одинаковые длину и направление, поэтому их перемещение по каждой оси одинаково и координаты совпадают. Это позволяет выполнять действия по компонентам: (a₁; a₂; a₃) + (b₁; b₂; b₃) = (a₁ + b₁; a₂ + b₂; a₃ + b₃), а разность находят вычитанием соответствующих координат. При умножении на число λ каждая координата умножается на λ: λa = (λa₁; λa₂; λa₃). Правила работают и для векторов, приложенных в разных точках, поскольку координаты описывают их смещение, а не место на чертеже.

Длину вектора можно найти последовательным применением теоремы Пифагора. Сначала для проекции на плоскость Oxy получаем длину √(x² + y²), затем соединяем эту проекцию с составляющей z и снова применяем теорему: |a|² = x² + y² + z². Значит, |a| = √(x² + y² + z²). Расстояние между A и B равно длине вектора AB, поэтому в формулу подставляют разности соответствующих координат: AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²).

Координаты точек и векторов в пространстве

В таблице собраны правила записи и вычислений: координаты вектора, заданного точками, находят по разности «конец минус начало». Чтобы выполнить действие с векторами, применяйте правило отдельно к каждой из трёх координат. При вычислении длины или расстояния сначала определите нужные координаты, а затем подставьте их в формулу.

Разбор задач

Задача 1. Даны точки A(1; −2; 3) и B(4; 0; −1). Найдите координаты вектора AB. Нужно учитывать направление от A к B, поэтому для каждой координаты берём значение конца и вычитаем значение начала. Это правило одинаково для всех трёх осей.

1. Запишем координаты начала A: (1; −2; 3), а конца B: (4; 0; −1).
2. Вычтем координаты A из координат B: AB = (4 − 1; 0 − (−2); −1 − 3).
3. Вычислим разности: AB = (3; 2; −4).

Ответ: AB = (3; 2; −4). Второе приращение положительное, потому что переход от −2 к 0 увеличивает координату y.

Задача 2. Даны векторы a = (2; −1; 3) и b = (−1; 4; 0). Найдите координаты вектора 2a − b и его длину. Сначала выполним действия по компонентам, а затем применим формулу длины. При вычитании b важно изменить знак каждой его координаты, включая нулевую.

1. Умножим каждую координату a на 2: 2a = (4; −2; 6).
2. Вычтем соответствующие координаты b: 2a − b = (4 − (−1); −2 − 4; 6 − 0) = (5; −6; 6).
3. Подставим координаты результата в формулу длины: |2a − b| = √(5² + (−6)² + 6²) = √(25 + 36 + 36) = √97.

Ответ: 2a − b = (5; −6; 6), длина равна √97. Под корнем складываются квадраты всех трёх координат, поэтому отрицательная координата тоже даёт положительный вклад.

Задача 3. Найдите расстояние между точками A(−2; 1; 3) и B(2; −2; 5). Расстояние можно найти как длину вектора AB. Поэтому сначала определим приращения координат при переходе от A к B, а затем применим пространственную формулу.

1. Найдём координаты вектора: AB = (2 − (−2); −2 − 1; 5 − 3) = (4; −3; 2).
2. Вычислим его длину: AB = √(4² + (−3)² + 2²).
3. Сложим квадраты и извлечём корень: AB = √(16 + 9 + 4) = √29.

Ответ: расстояние между точками равно √29. Знак координаты −3 после возведения в квадрат не влияет на длину, которая не может быть отрицательной.

Типичные ошибки

Первая ошибка — вычитать координаты конца из координат начала при поиске AB. Её допускают, когда не связывают порядок букв с направлением стрелки; такой расчёт на самом деле даёт BA. Чтобы проверить себя, проследите переход от A к B: координату B нужно получить, прибавив к координате A найденное приращение.

Вторая ошибка — складывать координаты векторов, не проверив, что именно они заданы. Сложение по компонентам возможно, когда каждый вектор записан тройкой координат; положение векторов на чертеже при этом неважно. Если в условии даны точки, сначала найдите координаты нужных векторов. Проверка: у каждого слагаемого должны быть три координаты, относящиеся к одним и тем же осям.

Третья ошибка — менять местами координаты точки или вектора. Так поступают, считая, что x, y и z можно переставить без последствий, но каждое место в записи соответствует своей оси. Например, (1; 2; 3) и (2; 1; 3) — разные записи и обычно задают разные объекты. Перед вычислением сверяйте порядок координат с обозначениями осей.

Четвёртая ошибка — забывать возвести разности координат в квадрат при вычислении расстояния. Из-за этого теряется связь формулы с теоремой Пифагора, а отрицательные приращения могут ошибочно дать отрицательный вклад. Проверьте запись: каждое из трёх приращений должно быть возведено в квадрат, после сложения извлекается квадратный корень.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уметь работать с координатной прямой и прямоугольной системой координат на плоскости. В пространстве знакомая идея координат дополняется третьим направлением, а запись точки становится тройкой чисел. Поэтому правила координат на плоскости служат основой для новой темы.

Для вычисления длины вектора и расстояния между точками используется теорема Пифагора. Правила сложения и умножения векторов продолжают свойства векторов, изученные в планиметрии, но теперь каждое действие выполняется по трём координатам. Связь с уже знакомыми идеями помогает объяснить формулы, а не просто запомнить их.

Координатный метод пригодится при изучении скалярного произведения и углов между векторами. Он также помогает решать стереометрические задачи, заменяя часть пространственных рассуждений вычислениями с координатами. Умение переводить геометрические условия в числа станет основой для дальнейших тем.

Что запомнить

• Положение точки в пространстве задаётся тремя координатами.
• Координаты вектора AB равны координатам точки B минус координаты точки A.
• Равные векторы имеют одинаковые координаты.
• Действия с векторами выполняются по соответствующим координатам.
• Длина вектора (x; y; z) равна √(x² + y² + z²).
• Расстояние между точками равно длине вектора, соединяющего их.