37.4. Координаты и векторы

Определения и обозначения

Прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и выбранными единичными отрезками. Оси обычно обозначают x, y и z, а их направления задают порядок координат. Такая система позволяет измерять положение объектов в трёх измерениях. Она служит общей основой для геометрических и числовых рассуждений.

Координаты точки — три числа, задающие её положение относительно координатных плоскостей и осей. Точку записывают, например, как A(x; y; z), причём каждое число относится к своей оси. Координаты показывают, насколько далеко и в каком направлении точка смещена от начала по каждому из трёх направлений. Это нужно, чтобы однозначно задать точку и сравнивать её положение с другими точками.

Координаты вектора — три числа, задающие его компоненты вдоль координатных осей. Вектор с координатами (a₁; a₂; a₃) описывает перемещение на a₁ по оси x, на a₂ по оси y и на a₃ по оси z. Отрицательная компонента означает движение против положительного направления оси. Такая запись позволяет выполнять действия с векторами без построения чертежа.

Радиус-вектор точки — вектор, направленный из начала координат в эту точку. Если точка имеет координаты (x; y; z), то и её радиус-вектор имеет координаты (x; y; z). Совпадение чисел возникает потому, что компоненты вектора показывают то же смещение от начала, которое задаёт положение точки. Радиус-вектор удобен для связи координат точки с векторными вычислениями.

Как это устроено

Три взаимно перпендикулярные оси нужны потому, что положение в пространстве имеет три независимых направления. От начала координат можно последовательно отложить смещение по x, y и z, причём каждый шаг не смешивается с двумя другими. Поэтому одной тройки чисел достаточно, чтобы однозначно указать точку. Если изменить хотя бы одну координату, точка переместится в соответствующем направлении.

Связь координат точки с осями можно представить через её проекции: координата по оси показывает, насколько далеко расположена проекция точки в этом направлении. Проекции на три оси дают три числа, которые записывают в установленном порядке: сначала x, затем y, затем z. Этот порядок не случаен: каждой позиции соответствует своя ось. Если поменять числа местами, получится другая точка, кроме особых случаев, когда некоторые координаты равны.

Чтобы найти вектор AB, нужно описать перемещение от A к B. По оси x оно равно разности xB − xA: начальное значение xA сменяется конечным xB, поэтому берут конечное минус начальное. Тот же ход рассуждений действует для y и z, откуда AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA). При смене направления на BA все три разности меняют знак.

Сложение и умножение вектора на число выполняются отдельно по каждой координате, потому что компоненты отвечают за независимые направления. Например, при сложении складываются два смещения вдоль x, затем два вдоль y и два вдоль z. При умножении на число каждая компонента растёт или уменьшается в одинаковое число раз; отрицательное число дополнительно меняет направление вектора. Так пространственные действия сводятся к знакомой арифметике троек.

Длину вектора находят по теореме Пифагора: сначала объединяют компоненты по двум направлениям, затем учитывают третье. В результате для a = (x; y; z) получается |a| = √(x² + y² + z²). Скалярное произведение a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ связывает координаты с углом: a·b = |a||b| cos φ. Поэтому для ненулевых векторов можно вычислить cos φ как отношение скалярного произведения к произведению длин.

Координаты точек и векторов: основные формулы

В таблице собраны формулы, которые переводят основные действия с векторами в вычисления с координатами. Перед подстановкой проверьте, что координаты записаны в одном порядке и относятся к одним и тем же осям. Формулы длины и угла применяются к векторам, а не к произвольному набору чисел без геометрического смысла.

Разбор задач

Даны точки A(1; −2; 3) и B(4; 0; −1). Найдём координаты вектора AB. Важно сначала определить направление: вектор начинается в A и заканчивается в B, значит, из координат B вычитаются соответствующие координаты A. Вычисления проводят отдельно для каждой оси, сохраняя порядок x, y, z.

1. Записываем правило: AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA).
2. Подставляем координаты точек: AB = (4 − 1; 0 − (−2); −1 − 3).
3. Вычисляем разности: AB = (3; 2; −4).

Ответ: AB = (3; 2; −4). Например, отрицательная третья координата означает, что при перемещении от A к B нужно двигаться против положительного направления оси z. Проверка порядка вычитания проста: если поменять точки местами, должен получиться противоположный вектор BA = (−3; −2; 4).

Даны векторы a = (2; −1; 2) и b = (1; 3; −2). Требуется найти длину a и координаты 2a − b. Для длины используем сумму квадратов компонент, поскольку компоненты взаимно перпендикулярны. Для выражения с векторами сначала удобно выполнить умножение на число, а затем вычесть координаты b покомпонентно.

1. Находим длину: |a| = √(2² + (−1)² + 2²) = √9 = 3.
2. Умножаем координаты a на 2: 2a = (4; −2; 4).
3. Вычитаем координаты b: 2a − b = (4 − 1; −2 − 3; 4 − (−2)) = (3; −5; 6).

Ответ: |a| = 3, а 2a − b = (3; −5; 6). При проверке длины полезно убедиться, что под корнем сложены именно квадраты всех трёх координат. При вычитании важно учитывать знаки: вычитание координаты −2 превращается в сложение с 2.

Найдём угол между векторами a = (1; 1; 0) и b = (1; 0; 1). Угол связывается со скалярным произведением формулой a·b = |a||b| cos φ. Поэтому сначала вычислим произведение и длины, а после этого выразим косинус угла. Оба вектора ненулевые, значит, формулу можно применять.

1. Скалярное произведение равно 1·1 + 1·0 + 0·1 = 1.
2. Длины векторов: |a| = √(1² + 1² + 0²) = √2 и |b| = √(1² + 0² + 1²) = √2.
3. Находим cos φ = 1/(√2 · √2) = 1/2, следовательно, φ = 60°.

Ответ: угол между векторами равен 60°. Положительное скалярное произведение здесь соответствует острому углу, а значение косинуса 1/2 определяет его величину. При использовании формулы стоит проверить, что длины не равны нулю, иначе деление на их произведение невозможно.

Типичные ошибки

При вычислении координат AB иногда вычитают координаты конца из координат начала, то есть получают BA. Ошибку допускают, когда забывают, в каком направлении задан вектор. Проверьте себя: для AB должно быть «B минус A», а при перестановке точек результат должен сменить знак.

Другая частая ошибка — перестановка координат x, y и z. Она появляется, если числа записывают без соотнесения с выбранными осями или меняют порядок в середине вычисления. Проверяйте каждую тройку по одному шаблону: первая координата относится к x, вторая к y, третья к z. В формулах для точки и вектора порядок должен оставаться одинаковым.

Длину вектора иногда находят как сумму координат или сумму их квадратов без извлечения корня. Так путают длину с промежуточным выражением под корнем. Используйте |a| = √(x² + y² + z²) и убедитесь, что результат неотрицателен. Для проверки можно возвести найденную длину в квадрат: должно получиться x² + y² + z².

Нулевое скалярное произведение порой принимают за признак нулевого вектора. На самом деле оно означает перпендикулярность двух ненулевых векторов; нулевой вектор сам по себе не задаёт направление и угол. После вычисления произведения проверьте, что оба вектора ненулевые. Если хотя бы один равен нулю, вывод о перпендикулярности по углу делать нельзя.

Связь с другими темами

Для работы с координатами в пространстве нужны знания о координатной плоскости, теореме Пифагора и действиях с векторами на плоскости. Пространственная формула длины опирается на теорему Пифагора, расширенную на третье взаимно перпендикулярное направление. Координатный метод затем помогает решать задачи о расстояниях, углах и взаимном расположении прямых и плоскостей. Скалярное произведение особенно важно тем, что переводит геометрический угол в вычисление по координатам.

Что запомнить

• Точка в пространстве задаётся упорядоченной тройкой координат.
• Координаты вектора AB равны координатам B минус координаты A.
• Действия с векторами выполняются отдельно по каждой координате.
• Длина вектора (x; y; z) равна √(x² + y² + z²).
• Скалярное произведение вычисляется как сумма произведений соответствующих координат.
• Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.