"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Фигуру в пространстве можно описать не только словами и чертежом, но и условием на координаты её точек. Такое описание помогает точно определить, какие точки входят в фигуру, и решать геометрические задачи алгебраическими способами. Равенство обычно задаёт границу, например сферу, а неравенство — область по одну сторону от неё. Знаки < и ≤ отличаются тем, включена ли граница. Несколько условий можно объединить системой, чтобы получить пересечение заданных областей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение фигуры — условие на координаты точки, которому удовлетворяют все точки фигуры и только они. Например, уравнение сферы отбирает точки на одинаковом расстоянии от её центра. Оно нужно, чтобы описать фигуру точно и проверять принадлежность точки без чертежа.
Неравенство фигуры — условие на координаты, задающее множество точек, для которых неравенство верно. В отличие от равенства, оно часто описывает целую область пространства, например внутренность шара. Это удобно, когда нужно указать не только поверхность, но и точки по одну её сторону.
Множество решений — все точки пространства, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению или неравенству. Иначе говоря, это геометрический ответ, полученный из алгебраического условия. Понятие помогает переходить от вычислений к пониманию того, какую именно фигуру задаёт запись.
Граница фигуры — точки, отделяющие заданную область от её дополнения; при неравенстве они могут входить в фигуру или не входить. Например, граница шара — его сферическая поверхность. Нужно различать границу и внутренние точки, чтобы правильно прочитать знак неравенства.
Координаты позволяют перевести геометрические свойства точки в вычисления. Например, расстояние от точки (x, y, z) до начала координат равно √(x² + y² + z²), поэтому условие «расстояние равно R» записывается как x² + y² + z² = R². Аналогично можно выражать принадлежность плоскости: координаты точки должны удовлетворять уравнению этой плоскости. Такая запись полезна потому, что одно условие сразу проверяется для любой точки.
Равенство обычно задаёт границу, а не объёмную область, потому что фиксирует точное значение величины. Если расстояние до центра должно равняться R, подходят точки только на поверхности сферы; точки ближе или дальше условие нарушают. У поверхности в пространстве обычно на одно измерение меньше, чем у области, которую она ограничивает. Поэтому для всего шара используют не равенство, а сравнение расстояния с радиусом.
Знак неравенства выбирает точки по одну сторону от границы. Например, x² + y² + z² < R² означает, что расстояние до начала координат меньше R, то есть точка находится внутри сферы. При знаке ≤ подходят также точки, у которых расстояние ровно R, поэтому поверхность становится частью фигуры. Строгий знак оставляет границу снаружи, а нестрогий включает её.
Сложную фигуру часто задают несколькими условиями сразу. Если требуется выполнить каждое из них, точка должна принадлежать всем соответствующим множествам, а результатом становится их пересечение. Например, условия для шара и полупространства выделяют ту часть шара, которая лежит в нужной половине пространства. Если же достаточно выполнить хотя бы одно условие, получается объединение множеств.
Чтобы проверить, верно ли записана фигура, нужно сопоставить смысл условия с координатами характерных точек. Для шара полезно взять точку внутри, точку на сфере и точку снаружи, затем подставить их координаты. Так можно обнаружить, например, неверный знак или отсутствие границы в множестве решений. Особенно тщательно проверяют точки границы: именно для них различаются строгие и нестрогие неравенства.
Таблица помогает увидеть, какое множество точек соответствует каждому способу записи. При чтении условия сначала определите, требуется ли равенство или сравнение, затем выясните, включается ли граница. В последнем столбце приведены примеры, которые можно проверить по формуле расстояния.
| Способ задания | Что означает условие | Какие точки входят | Геометрический пример |
|---|---|---|---|
| Уравнение | Равенство выполняется | Точки, удовлетворяющие равенству | Сфера: x² + y² + z² = R² |
| Строгое неравенство | Выражение меньше или больше заданного значения | Внутренние точки области без границы | Внутренность шара: x² + y² + z² < R² |
| Нестрогое неравенство | Выражение не превосходит или не меньше заданного значения | Область вместе с границей | Шар: x² + y² + z² ≤ R² |
| Система условий | Все условия выполняются одновременно | Общие точки заданных множеств | Пересечение шара и полупространства |
Записать уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом 3. Сфера состоит из точек, расстояние от которых до её центра постоянно и равно 3. Координаты произвольной точки обозначим (x, y, z); её расстояние до начала координат выражается через сумму квадратов координат. Поэтому условие расстояния можно преобразовать в уравнение без квадратного корня.
Ответ: x² + y² + z² = 9. Равенство задаёт именно поверхность сферы: расстояние от каждой её точки до центра равно 3.
Определить, какую фигуру задаёт неравенство x² + y² + z² ≤ 4, и указать, входит ли граница. Левая часть связана с квадратом расстояния до начала координат, а число 4 — квадрат радиуса 2. Знак ≤ означает, что допустимо и меньшее значение, и равенство, поэтому нужно учитывать как внутренние точки, так и поверхность.
Ответ: шар радиуса 2 с центром в начале координат; его граница входит в фигуру. При равенстве x² + y² + z² = 4 получилась бы только сферическая поверхность.
Описать фигуру, заданную системой x² + y² + z² ≤ 9 и z ≥ 0. Первое условие задаёт шар радиуса 3 с центром в начале координат, второе ограничивает точки верхним полупространством, включая плоскость z = 0. Поскольку оба условия должны выполняться одновременно, берём только общую часть этих множеств. Проверка знаков показывает, что границы не исключены.
Ответ: половина шара, лежащая в полупространстве z ≥ 0, вместе с границами. В частности, включены точки сферической поверхности и точки сечения в плоскости z = 0.
Считать, что уравнение сферы задаёт весь шар. Так ошибаются, потому что в повседневной речи словом «сфера» иногда называют объёмную фигуру, но в геометрии сфера — поверхность. Проверьте точку внутри: её расстояние меньше радиуса, значит, равенству она не удовлетворяет.
Не различать знаки < и ≤. Их легко принять за похожие записи, хотя первый знак исключает точки равенства, а второй включает. Для проверки подставьте точку на границе: при строгом неравенстве условие для неё ложно, при нестрогом — истинно.
Заменять систему условий одним из условий. Это происходит, когда рассматривают каждое неравенство отдельно и забывают, что система требует одновременного выполнения всех. Возьмите точку, которая подходит только одному условию: она не входит в решение системы, что помогает проверить себя.
Забывать возводить радиус в квадрат в уравнении сферы или шара. Причина — смешение формулы расстояния с уравнением, в котором корень уже устранён. Сверьте запись с формулой √(x² + y² + z²) = R: после возведения в квадрат справа должно стоять R².
Для работы с уравнениями фигур нужны координаты точки в пространстве, формула расстояния между точками и представление об уравнении сферы. Тема продолжает изучение связи алгебраических условий с геометрическими множествами, знакомой по координатной плоскости. Этот способ описания пригодится в координатном методе, при изучении сечений тел и решении стереометрических задач. Он помогает заменить пространственный чертёж точными условиями, которые можно проверять вычислением.
Чем уравнение фигуры отличается от неравенства?
Уравнение отбирает точки, координаты которых делают равенство истинным; часто это поверхность, например сфера. Неравенство задаёт область точек, для которых выражение меньше, больше или равно заданному числу.
Почему уравнение сферы задаёт поверхность, а не весь шар?
В уравнении x² + y² + z² = R² расстояние от точки до центра должно быть ровно R. Точки на меньшем расстоянии лежат внутри сферы и равенству не удовлетворяют.
Как понять, входит ли граница в фигуру?
Посмотрите на знак неравенства. Строгие знаки < и > исключают точки, где достигается равенство, а нестрогие ≤ и ≥ включают их.
Что геометрически означает система неравенств?
Каждое неравенство задаёт своё множество точек, а система требует выполнения всех условий одновременно. Поэтому её решение — общая часть, то есть пересечение этих множеств.
Как проверить, принадлежит ли точка фигуре, заданной условием?
Подставьте координаты точки в уравнение или неравенство и проверьте, истинно ли полученное равенство или неравенство. Для системы нужно проверить каждое условие: достаточно одного невыполненного, чтобы точка не принадлежала фигуре.
37.5. Задание фигур уравнениями и неравенствами
