37.6. Уравнение плоскости

Определения и обозначения

Уравнение плоскости — уравнение с координатами точки, которому удовлетворяют координаты всех точек плоскости и только они. Иными словами, по координатам можно проверить, принадлежит ли точка этой плоскости. Такая запись позволяет описывать геометрический объект алгебраическими средствами.

Нормальный вектор плоскости — ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости. Он задаёт направление, в котором плоскость «смотрит» в пространстве, и помогает составить её уравнение. Нулевой вектор для этого не подходит, поскольку у него нет определённого направления.

Общее уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C не равны нулю одновременно. Коэффициенты A, B, C задают координаты нормального вектора, а D влияет на положение плоскости. Общее уравнение удобно использовать для проверки точек и дальнейших вычислений.

Уравнение плоскости через точку с заданным нормальным вектором связывает координаты точки плоскости с координатами этого вектора. Если известны точка M₀ и нормальный вектор, положение плоскости определяется однозначно. Этот способ особенно полезен при составлении уравнения по геометрическим условиям.

Как это устроено

Выберем фиксированную точку M₀(x₀, y₀, z₀) в плоскости и обозначим произвольную точку плоскости через M(x, y, z). Вектор M₀M лежит в плоскости, поэтому он перпендикулярен нормальному вектору n. Перпендикулярность означает, что скалярное произведение векторов равно нулю. Именно это геометрическое условие превращается в уравнение.

Координаты вектора M₀M равны (x − x₀, y − y₀, z − z₀), а координаты нормального вектора обозначим (A, B, C). По формуле скалярного произведения получаем A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. Это и есть уравнение плоскости через точку с заданным нормальным вектором. Оно описывает именно нужную плоскость: точка M₀ в ней лежит, а направления внутри неё перпендикулярны n.

Если раскрыть скобки, получится Ax + By + Cz − Ax₀ − By₀ − Cz₀ = 0. Обозначив постоянную часть через D, запишем общее уравнение Ax + By + Cz + D = 0. Коэффициенты при переменных образуют нормальный вектор, потому что для любой точки плоскости изменение координат вдоль плоскости даёт вектор, скалярное произведение которого с (A, B, C) равно нулю.

Уравнение можно умножить на любое ненулевое число: если левая часть равнялась нулю, после умножения она по-прежнему равна нулю, и наоборот. Значит, множество решений и сама плоскость сохраняются. Например, уравнения x + 2y − z + 1 = 0 и 2x + 4y − 2z + 2 = 0 задают одну плоскость, хотя коэффициенты в них различны.

Если заданы три точки, сначала строят два вектора с общим началом в одной из них. Когда точки не лежат на одной прямой, эти векторы неколлинеарны и задают направления внутри плоскости. Затем находят вектор, перпендикулярный обоим, — он станет нормальным вектором. С ним и одной из заданных точек составляют уравнение по формуле через точку.

Способы задать уравнение плоскости

Сначала определите, какие данные задачи уже известны, а затем выберите соответствующую строку таблицы. Если дана точка и нормаль, сразу применяйте уравнение через точку; если даны три точки, сначала найдите нормаль. После составления уравнения подстановка известных точек помогает проверить вычисления.

Разбор задач

Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(1, −2, 3) и имеющей нормальный вектор (2, 1, −1).

1. Используем формулу A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0: известны и координаты точки, и все три координаты нормали.
2. Подставляем данные: 2(x − 1) + 1(y − (−2)) − 1(z − 3) = 0.
3. Упрощаем разности: 2(x − 1) + (y + 2) − (z − 3) = 0.
4. Раскрываем скобки и приводим подобные: 2x − 2 + y + 2 − z + 3 = 0, то есть 2x + y − z + 3 = 0.

Ответ: 2x + y − z + 3 = 0. Проверка подстановкой M₀ даёт 2 − 2 − 3 + 3 = 0, как и требуется.

Задача 2. Определить, лежит ли точка P(2, 0, 1) в плоскости 3x − 2y + z − 7 = 0.

1. Точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению. Поэтому подставляем вместо x, y, z координаты P.
2. Получаем 3 · 2 − 2 · 0 + 1 − 7 = 6 + 0 + 1 − 7 = 0.
3. Левая часть обратилась в ноль, следовательно, условие уравнения выполнено.

Ответ: точка P лежит в плоскости. Если бы при подстановке получился ненулевой результат, точка не принадлежала бы ей.

Задача 3. Составить уравнение плоскости через A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) и C(0, 0, 1).

1. Выберем точку A и построим два вектора плоскости: AB = (−1, 1, 0), AC = (−1, 0, 1). Они не пропорциональны, значит, точки не лежат на одной прямой.
2. Ищем вектор n = (a, b, c), перпендикулярный обоим. Условия скалярных произведений: −a + b = 0 и −a + c = 0, поэтому b = a и c = a.
3. Берём ненулевой вариант a = 1: нормальный вектор n = (1, 1, 1). Записываем уравнение через A: (x − 1) + y + z = 0.
4. Раскрываем скобки: x + y + z − 1 = 0. Подстановка координат любой из трёх точек даёт ноль.

Ответ: x + y + z − 1 = 0.

Типичные ошибки

Нельзя считать, что A, B, C могут быть одновременно нулевыми. Тогда уравнение превратится в D = 0: при D ≠ 0 решений не будет, а при D = 0 ему удовлетворит любая точка пространства. Проверяйте, что вектор (A, B, C) ненулевой.

Нормальный вектор часто путают с вектором, который лежит в плоскости. Направления внутри плоскости перпендикулярны нормали, а не совпадают с ней. Проверить себя можно по условию: скалярное произведение нормального вектора с любым направлением плоскости должно быть равно нулю.

При раскрытии уравнения через точку легко потерять знак, особенно в выражениях y − (−2) и −(z − 3). Ошибка меняет положение плоскости, хотя внешне формула может выглядеть правдоподобно. Подставьте координаты исходной точки в итоговое уравнение: левая часть обязана обратиться в ноль.

Три точки на одной прямой не определяют единственную плоскость, хотя каждая из них принадлежит многим плоскостям. Это происходит потому, что через одну прямую можно провести бесконечно много плоскостей. Перед вычислениями проверьте, что два построенных по точкам вектора неколлинеарны.

Связь с другими темами

Для вывода уравнения нужны координаты вектора, скалярное произведение и условие перпендикулярности: именно скалярное произведение связывает нормаль с направлениями плоскости. Координатный способ описания плоскости продолжает изучение уравнений геометрических объектов, в том числе прямой. Позже уравнение плоскости используют, чтобы находить пересечения, расстояния и углы в стереометрии и аналитической геометрии.

Что запомнить

• Общее уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0.
• Вектор (A, B, C) является нормальным вектором плоскости.
• Нормальный вектор не может быть нулевым.
• Уравнение через точку записывается как A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0.
• Точка лежит в плоскости тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют уравнению.
• Умножение всех коэффициентов уравнения на одно ненулевое число не меняет плоскость.
• Три точки задают плоскость, если они не лежат на одной прямой.