37.7. Метод координат

Определения и обозначения

Метод координат — способ решать геометрические задачи, переводя их на язык чисел и алгебраических соотношений. Геометрические объекты задают координатами, а нужные свойства выражают формулами. Такой переход полезен, когда отношения между точками можно свести к вычислениям.

Прямоугольная система координат в пространстве состоит из трёх взаимно перпендикулярных координатных осей с общим началом. Оси обычно обозначают Ox, Oy и Oz, а общее начало — буквой O. Такая система задаёт направления, относительно которых описывают положение точек.

Координаты точки в пространстве — три числа x, y, z, которые определяют её положение относительно выбранных осей. Запись A(x; y; z) означает, что точке A соответствуют координаты x, y и z. Если изменить расположение осей, координаты той же точки могут измениться.

Координатная модель геометрической фигуры — её описание с помощью координат точек и формул, задающих отношения между ними. Например, отрезку соответствуют координаты его концов, а его длину можно вычислить. Модель позволяет заменить часть геометрических рассуждений алгебраическими вычислениями.

Как это устроено

Решение начинают с выбора системы координат, потому что сами координаты зависят от положения осей. Если выбрать их случайно, у многих точек появятся неизвестные координаты и вычисления станут длиннее. Удачный выбор превращает известные свойства фигуры в простые числа, нули или равенства. Поэтому до вычислений полезно определить, какие элементы фигуры задают её форму.

Координаты характерным точкам назначают, опираясь на условия задачи. Если оси направлены вдоль взаимно перпендикулярных рёбер, их длины можно использовать как координаты вершин; точки на оси имеют две нулевые координаты. Симметрия помогает расположить начало координат в центре или назначить одинаковые по модулю координаты симметричным точкам. Известные длины задают числовые значения, а неизвестные обозначают переменными.

Отношения между точками переводят в вычисления по формулам. Чтобы получить координаты вектора AB, из координат конца B вычитают координаты начала A; так находят изменение по каждому из трёх направлений. Расстояние между точками вычисляют по теореме Пифагора в пространстве: складывают квадраты разностей координат и извлекают корень. Координаты середины отрезка получают, усредняя отдельно координаты его концов.

Для проверки перпендикулярности сначала находят векторы, направленные вдоль рассматриваемых отрезков или прямых. Скалярное произведение векторов a = (a₁; a₂; a₃) и b = (b₁; b₂; b₃) равно a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Если оно равно нулю, векторы перпендикулярны; это даёт критерий для проверки направлений без построения угла. Важно правильно связать каждый вычисленный вектор с нужным отрезком.

После вычислений численный ответ возвращают к исходной фигуре: например, называют длину конкретного отрезка или делают вывод о перпендикулярности. Полученное значение сопоставляют с ограничениями задачи — длины должны быть неотрицательными, а найденные точки должны соответствовать заданному расположению. Полезно также подставить координаты обратно в использованное условие. Такая проверка помогает обнаружить ошибку в знаке, формуле или выборе направлений.

Координатная запись основных геометрических объектов и отношений

Сначала определите, какие точки и векторы участвуют в задаче, затем выберите подходящую строку таблицы. Для проверки перпендикулярности нужно сначала получить координаты обоих векторов, а уже потом вычислять скалярное произведение. Все координаты векторов записывайте в одном и том же порядке: x, y, z.

Разбор задач

Координаты вершин прямоугольного параллелепипеда

Пусть длины трёх рёбер, выходящих из вершины A, равны a, b и c. Требуется выбрать систему координат и записать координаты остальных вершин. Рёбра параллелепипеда, выходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны. Поэтому именно они задают удобные направления осей.

1. Поместим начало координат в вершину A, а оси направим вдоль трёх рёбер AB, AD и AA₁. Тогда A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; b; 0), A₁(0; 0; c).
2. Остальные вершины получаются параллельным переносом рёбер. Поэтому C(a; b; 0), B₁(a; 0; c), D₁(0; b; c), C₁(a; b; c).
3. Проверим запись: у каждой вершины координата меняется на длину того ребра, вдоль которого она отстоит от A. Например, C₁ удалена от A по всем трём направлениям.

Ответ: координаты вершин заданы в списке; в частности, C₁(a; b; c). Выбор начала и осей позволил обойтись без неизвестных координат.

Расстояние между точками и сравнение отрезков

Даны P(1; 2; 3), Q(4; 6; 3), R(0; 0; 0) и S(3; 4; 0). Нужно найти длины PQ и RS и проверить, равны ли эти отрезки. Формула расстояния учитывает перемещение по всем трём координатам. Сначала удобно выписать разности координат для каждой пары точек.

1. Для PQ разности координат равны 4 − 1 = 3, 6 − 2 = 4 и 3 − 3 = 0. Значит, PQ = √(3² + 4² + 0²) = 5.
2. Для RS разности равны 3 − 0 = 3, 4 − 0 = 4 и 0 − 0 = 0. Поэтому RS = √(3² + 4² + 0²) = 5.
3. Сравним результаты: PQ и RS имеют одинаковую длину. Равенство следует из вычислений, а не только из сходства записи координат.

Ответ: PQ = RS = 5. Нулевая разность по z означает, что у концов каждого из этих отрезков одинаковая третья координата.

Проверка перпендикулярности отрезков

Пусть заданы точки A(0; 0; 0), B(2; 1; 0), C(0; 0; 0) и D(1; −2; 0). Требуется проверить, перпендикулярны ли AB и CD. Для этого найдём векторы, направленные вдоль отрезков, и вычислим их скалярное произведение. Совпадение начал отрезков для критерия не требуется.

1. Находим координаты направляющих векторов: AB = (2; 1; 0), CD = (1; −2; 0). В каждом случае вычитаем координаты начала отрезка из координат его конца.
2. Вычисляем скалярное произведение: AB·CD = 2·1 + 1·(−2) + 0·0 = 0. Следовательно, направления этих векторов перпендикулярны.
3. Так как векторы направлены вдоль отрезков AB и CD, нулевое произведение доказывает перпендикулярность самих отрезков.

Ответ: AB ⟂ CD. В этом рассуждении важно, что каждый вектор построен именно по координатам концов соответствующего отрезка.

Типичные ошибки

Система координат, выбранная без учёта симметрии и перпендикулярности, часто создаёт лишние неизвестные. Так бывает, если оси расположены случайно, хотя в фигуре есть удобные взаимно перпендикулярные рёбра или центр симметрии. Перед вычислениями проверьте, можно ли сделать некоторые координаты нулевыми, а другие — известными длинами. Если почти у каждой точки появляются неизвестные, систему стоит выбрать заново.

Координаты точки нередко путают с координатами вектора. У точки записывают её положение, а координаты вектора AB получают вычитанием координат A из координат B. Ошибка в порядке вычитания меняет направление вектора, поэтому особенно опасна в задачах со скалярным произведением. Для самопроверки подпишите рядом с разностью, откуда и куда направлен вектор.

При вычислении расстояния можно пропустить одну координату или не возвести разность в квадрат. Тогда получится неверная длина, даже если остальные действия выполнены правильно. Запишите отдельно все три разности, а затем проверьте наличие трёх квадратов под корнем. Если точки различны, расстояние должно быть положительным.

Нулевое скалярное произведение доказывает перпендикулярность именно тех векторов, которые вы вычислили. Если эти векторы не направлены вдоль заданных отрезков, вывод о перпендикулярности отрезков не обоснован. До вычисления явно запишите, например, AB и CD, а после него свяжите результат с нужными направлениями. Так вы проверите не только арифметику, но и смысл доказательства.

Связь с другими темами

Для работы в пространстве нужны знакомые понятия из геометрии на плоскости: прямоугольная система координат, координаты вектора, формула расстояния и скалярное произведение. Пространственные формулы расширяют плоские: к двум координатам добавляется третья, отвечающая за новое направление. Поэтому полезно уверенно выполнять вычисления с координатами ещё до решения задач в пространстве.

Метод координат применяют в задачах на расстояния, углы и взаимное расположение объектов в пространстве. Он также подготавливает к аналитической геометрии, где свойства фигур изучают с помощью уравнений и координатных моделей. Освоенные приёмы помогают переводить условие задачи в вычисления и возвращаться от результата к геометрическому смыслу.

Что запомнить

• Координатная система — инструмент для перевода геометрии на язык алгебры.
• Удачный выбор начала координат и направлений осей упрощает решение.
• В пространстве координата точки задаётся тремя числами.
• Координаты вектора получают вычитанием координат его начала из координат конца.
• Длину отрезка находят по формуле расстояния с учётом всех трёх координат.
• Перпендикулярность направлений можно проверить через скалярное произведение.
• Полученный численный результат нужно соотнести с исходным условием задачи.