"Геометрия. Базовый и углубленный уровни", Нелин Е.П., Лазарев В.А.
Плоскость в пространстве можно задать уравнением с тремя переменными: ему удовлетворяют координаты всех точек плоскости и только они. В общем уравнении коэффициенты при переменных задают вектор нормали — вектор, перпендикулярный плоскости. Зная нормаль и одну точку плоскости, можно составить её уравнение; подстановка координат помогает проверить, лежит ли точка на плоскости. Одно и то же множество точек задают уравнения, полученные умножением исходного на ненулевое число.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вектор нормали плоскости — ненулевой вектор, перпендикулярный каждому направлению, лежащему в этой плоскости. Его обозначают, например, n, а координаты записывают как (A, B, C). Нормаль помогает задать наклон плоскости: если известны нормаль и точка плоскости, её уравнение можно восстановить.
Уравнение плоскости — уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты всех точек плоскости и только они. Переменные x, y и z обозначают координаты произвольной точки пространства. Такое уравнение переводит геометрическое условие «точка принадлежит плоскости» в вычислимую проверку.
Общее уравнение плоскости имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, где A, B и C не равны нулю одновременно. Число D называют свободным членом; вместе с остальными коэффициентами оно определяет положение плоскости. По этому виду уравнения можно прочитать координаты нормали и проверять принадлежность точек.
Пусть M₀(x₀, y₀, z₀) — известная точка плоскости, а M(x, y, z) — любая другая её точка. Вектор M₀M направлен вдоль плоскости, поэтому он перпендикулярен нормали n = (A, B, C). Перпендикулярность выражается нулевым скалярным произведением: n · M₀M = 0. Подстановка координат векторов даёт A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0 — уравнение всех точек этой плоскости.
Если раскрыть скобки в полученном равенстве, выйдет Ax + By + Cz + D = 0, где D = −Ax₀ − By₀ − Cz₀. Значит, коэффициенты при x, y и z — это координаты нормали. Они задают направление, перпендикулярное плоскости, а свободный член отвечает за её положение относительно начала координат. Если бы A, B и C одновременно равнялись нулю, осталось бы равенство D = 0 либо противоречие, но не уравнение плоскости.
Чтобы составить уравнение, когда заданы нормаль и точка, запишите координаты нормали и координаты точки в условии перпендикулярности. Получится A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. В этом уравнении уже учтено, что при x = x₀, y = y₀ и z = z₀ левая часть равна нулю. При желании раскройте скобки и перенесите всё в левую часть, чтобы получить общее уравнение.
При проверке принадлежности точки подставляют её координаты вместо переменных в уравнении плоскости. Нулевой результат означает, что координаты удовлетворяют уравнению, а значит, точка принадлежит плоскости; ненулевой результат означает обратное. Координаты нужно подставить все три и именно на свои места, поскольку каждая переменная отвечает за свою ось. Проверка только одного слагаемого ничего не говорит о равенстве всей суммы нулю.
Если обе части уравнения умножить на одно и то же ненулевое число, множество решений не изменится: нулём была левая часть — нулём и останется. Поэтому, например, уравнения Ax + By + Cz + D = 0 и −2Ax − 2By − 2Cz − 2D = 0 задают одну плоскость. Чтобы найти пересечение с осью Ox, положите y = 0 и z = 0, а затем решите уравнение Ax + D = 0. Аналогично проверяют Oy и Oz; если уравнение для координаты неразрешимо, пересечения с соответствующей осью нет.
| Что известно или требуется | Действие или запись | Что можно определить |
|---|---|---|
| Нормаль (A, B, C) и точка M₀(x₀, y₀, z₀) | A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0 | Уравнение плоскости |
| Общее уравнение плоскости | Ax + By + Cz + D = 0 | Коэффициенты и нормаль (A, B, C) |
| Проверка принадлежности точки плоскости | Подставить координаты точки в уравнение | Принадлежит ли точка плоскости |
| Нормаль плоскости по коэффициентам уравнения | Считать коэффициенты при x, y, z | Вектор нормали (A, B, C) |
| Переход к равносильному уравнению умножением на ненулевое число | Умножить все коэффициенты на одно число k ≠ 0 | Уравнение той же плоскости |
Сначала определите, какие данные у вас есть, а затем выберите соответствующую строку таблицы. Если известны нормаль и точка, используйте первую запись; если нужно проверить точку — подставьте её координаты. При чтении нормали следите за порядком коэффициентов: сначала при x, затем при y и z.
Условие: составить уравнение плоскости с нормалью n = (2, −1, 3), проходящей через M₀(1, 0, −2). Нормаль задаёт перпендикулярное плоскости направление, поэтому вектор от M₀ к любой точке плоскости должен иметь с ней нулевое скалярное произведение. Запишем это условие для произвольной точки M(x, y, z).
Проверим, что заданная точка проходит через уравнение: при x = 1, y = 0, z = −2 левая часть равна 2 − 0 − 6 + 4 = 0. Ответ: 2x − y + 3z + 4 = 0.
Условие: проверить, лежит ли P(2, 1, 0) на плоскости 2x − y + 3z − 3 = 0, и указать её нормаль. Для проверки подставим координаты точки, не меняя порядок переменных. Нормаль, в свою очередь, читается прямо из коэффициентов при x, y и z.
Ответ: точка P принадлежит плоскости; вектор нормали — (2, −1, 3). Если бы при подстановке получилось число, отличное от нуля, точка не лежала бы на плоскости.
Условие: составить уравнение плоскости через A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) и определить, пересекает ли она координатные оси. Две разности радиус-векторов точек, лежащие в плоскости, дают её направляющие векторы. Нормаль найдём так, чтобы она была перпендикулярна обоим.
Во всех трёх случаях получается точка пересечения на соответствующей оси. Ответ: x + y + z − 1 = 0; плоскость пересекает оси Ox, Oy и Oz в точках A, B и C соответственно.
Считать нулевой вектор нормалью. Его иногда принимают за нормаль, потому что он формально перпендикулярен любому вектору, но он не задаёт направления. В уравнении при A = B = C = 0 не остаётся нормали, необходимой для задания плоскости. Проверьте, что хотя бы один из трёх коэффициентов при переменных ненулевой.
Путать координаты нормали с координатами точки. Коэффициенты A, B и C принимают за координаты точки, потому что они записаны рядом с переменными x, y, z. На самом деле это координаты вектора нормали; координаты точки задаются отдельно, например (x₀, y₀, z₀). Чтобы проверить себя, выпишите нормаль как вектор (A, B, C), а точку — как тройку координат с её обозначением.
Забывать свободный член D. Если записать только Ax + By + Cz = 0, можно получить плоскость, которая не проходит через заданную точку. Ошибка возникает, когда условие перпендикулярности не подставляют для известной точки или не раскрывают скобки полностью. Подставьте координаты этой точки в готовое уравнение: левая часть обязана равняться нулю.
Подставлять координаты не на свои места или проверять только одну координату. Из-за путаницы x, y и z получается другое значение левой части, а отдельное слагаемое не подтверждает принадлежность точки. Подставлять нужно все координаты одновременно в соответствующие переменные и вычислять сумму целиком. Самопроверка проста: в конце должно быть получено именно равенство нулю.
Для работы с уравнением плоскости нужны координаты точек и векторов в пространстве, умение находить координаты вектора по двум точкам и вычислять скалярное произведение. Эти знания позволяют перейти от условия перпендикулярности к уравнению. Сама формула затем помогает исследовать взаимное расположение плоскостей и прямых с плоскостями. Она также используется в задачах на вычисление расстояний.
Почему уравнение плоскости содержит три переменные?
Точка в пространстве задаётся тремя координатами x, y и z. Уравнение связывает эти координаты так, что ему удовлетворяют точки плоскости, а не точки вне неё.
Как понять, что заданное уравнение действительно задаёт плоскость?
В уравнении Ax + By + Cz + D = 0 коэффициенты A, B и C не должны одновременно быть нулевыми. Тогда вектор (A, B, C) ненулевой и является нормалью плоскости.
Как по уравнению плоскости найти её вектор нормали?
Нужно взять коэффициенты при x, y и z в том же порядке. Например, у уравнения 2x − y + 3z − 3 = 0 нормаль имеет координаты (2, −1, 3).
Как проверить, лежит ли заданная точка на плоскости?
Подставьте координаты точки вместо x, y и z в уравнение. Если после вычислений получается ноль, точка лежит на плоскости; если нет — не лежит.
Почему уравнения, отличающиеся общим ненулевым множителем, задают одну и ту же плоскость?
Умножение обеих частей равенства на ненулевое число не меняет, при каких x, y и z равенство верно. Поэтому набор точек остаётся прежним, а значит, плоскость не меняется.
§ 26. Уравнение плоскости
