§ 27. Применение метода координат и векторов к решению стереометрических задач

Определения и обозначения

Метод координат в пространстве — способ решать геометрические задачи, задавая координаты точек и переводя отношения между ними в вычисления. Например, длину отрезка можно найти через координаты его концов. Метод нужен, когда пространственные построения сложно анализировать только по чертежу.

Координаты точки в пространстве — три числа, которые задают её положение относительно выбранных взаимно перпендикулярных осей. Обычно их записывают как (x; y; z). Координаты помогают точно описать вершины фигуры и подставить их в формулы.

Векторный метод — способ решения, при котором точки и геометрические отношения описывают с помощью векторов и действий над ними. Вектор показывает направление и величину перемещения от одной точки к другой. Этот подход полезен, когда задача связана с направлениями, углами или параллельностью.

Скалярное произведение векторов — число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. Если векторы имеют координаты (x₁; y₁; z₁) и (x₂; y₂; z₂), их произведение равно x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. По нему удобно вычислять углы и проверять перпендикулярность.

Как это устроено

Сначала выбирают систему координат или базис — набор направлений, по которым будут описаны точки и векторы. Удачный выбор позволяет задать многие координаты нулями и простыми числами, поэтому вычисления становятся короче. Например, в кубе естественно направить оси вдоль трёх рёбер, выходящих из одной вершины.

Чтобы получить координаты вектора AB, из координат конца B вычитают соответствующие координаты начала A: (xB − xA; yB − yA; zB − zA). Это правило следует из того, что вектор показывает изменение координат при переходе от A к B. Если переписать координаты одной точки, получится положение точки, а не перемещение между двумя точками.

Длину отрезка находят как длину вектора, соединяющего его концы. Для вектора u = (x; y; z) она равна √(x² + y² + z²), что следует из теоремы Пифагора для взаимно перпендикулярных осей. Поэтому пространственное расстояние сводится к вычислению квадратного корня из суммы квадратов координат.

Угол между направлениями связан со скалярным произведением: u · v = |u| · |v| · cos φ. Значит, чтобы найти косинус угла, нужно разделить произведение на произведение длин векторов. Если произведение равно нулю, косинус равен нулю, а направления перпендикулярны.

При выборе метода учитывают, какие отношения заданы и что требуется найти. Координаты часто упрощают вычисление конкретных расстояний, поскольку позволяют сразу применить формулу длины. Векторы удобны для работы с направлениями, углами и параллельностью; при необходимости координаты используют для вычисления самих векторов.

Координатный и векторный методы решения стереометрических задач

Сначала определите, какие данные задачи проще представить координатами, а какие — векторами. Затем примените подходящую формулу и проверьте, соответствует ли результат геометрическому смыслу. Для угла между прямыми учитывайте, что обычно выбирают угол не больше 90°.

Разбор задач

Диагональ куба

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром a найдите длину диагонали AC₁. Удобно выбрать одну вершину за начало координат, чтобы все три направления рёбер совпали с осями. Тогда координаты вершин можно записать без дополнительных построений.

1. Положим A = (0; 0; 0), AB направим вдоль оси x, AD — вдоль y, AA₁ — вдоль z. Тогда C₁ = (a; a; a).
2. Найдём вектор AC₁: (a − 0; a − 0; a − 0) = (a; a; a).
3. Вычислим его длину: |AC₁| = √(a² + a² + a²) = a√3.

Ответ: a√3. Три одинаковые составляющие возникают потому, что диагональ проходит по всем трём измерениям куба.

Угол между прямыми в кубе

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите косинус угла между прямыми AC₁ и BD. Направления прямых удобно задать векторами, используя те же координаты, что и для вершин куба. Угол между прямыми берём не больше 90°.

1. Пусть A = (0; 0; 0), B = (a; 0; 0), D = (0; a; 0), C₁ = (a; a; a).
2. Направляющий вектор AC₁ равен (a; a; a), а вектор BD = D − B равен (−a; a; 0).
3. Скалярное произведение равно a(−a) + a·a + a·0 = 0. Следовательно, направляющие векторы перпендикулярны, а косинус угла равен 0.

Ответ: cos φ = 0, угол равен 90°. Нулевое скалярное произведение здесь сразу даёт ответ, поэтому вычислять длины векторов не требуется.

Проверка утверждения о правильной треугольной пирамиде

В условии предлагается доказать, что в правильной треугольной пирамиде SABC ребро SA перпендикулярно медиане основания, проведённой из A. Однако это утверждение неверно: проекция вершины S на основание лежит на медиане из A и находится внутри основания. Координаты показывают, что скалярное произведение соответствующих векторов не равно нулю.

1. Возьмём основание со стороной 2: A = (0; 0; 0), B = (2; 0; 0), C = (1; √3; 0). Центр основания имеет координаты (1; √3/3; 0), поэтому вершину S можно записать как (1; √3/3; h), где h > 0.
2. Середина BC — точка M = (3/2; √3/2; 0). Тогда вектор AM = (3/2; √3/2; 0), а AS = (1; √3/3; h).
3. Их скалярное произведение равно 3/2 + 1/2 = 2, а не нулю. Значит, SA не перпендикулярно медиане AM.

Ответ: доказать заявленное нельзя — в условии, вероятно, ошибка. Проверка координатами помогает не только доказывать утверждения, но и обнаруживать неверные формулировки.

Типичные ошибки

Неудачная система координат приводит к громоздким выражениям. Так бывает, когда оси выбирают случайно, не учитывая симметрию фигуры или направления её рёбер. Перед вычислениями проверьте, можно ли расположить оси вдоль рёбер, граней или других удобных элементов.

Координаты точки иногда принимают за координаты вектора. Ошибка возникает, потому что оба объекта записываются тройками чисел, но у вектора важны начало и конец. Проверка простая: для AB вычтите координаты A из координат B и убедитесь, что переход от A к B меняет координаты именно на полученный вектор.

В формуле угла можно забыть разделить скалярное произведение на произведение длин векторов. Тогда вместо косинуса получается только числитель формулы, который может быть больше 1 по модулю. Проверьте, что использована запись cos φ = (u · v) / (|u| · |v|).

Ещё одна ошибка — оставить тупой угол, полученный для направляющих векторов, как угол между прямыми. Её допускают, когда не различают угол между векторами и принятый угол между прямыми. Сверьте ответ с условием: для двух прямых берут меньший угол, не превышающий 90°.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны координаты точек и векторов в пространстве, правила действий с векторами и формула длины вектора. Также необходимо уметь вычислять скалярное произведение и связывать его с углом между векторами. Эти знания объединяют ранее изученные вычислительные приёмы с геометрией фигур в пространстве.

Координатный и векторный подходы применяют в задачах на расстояния, углы, перпендикулярность и параллельность. Они помогают заменить пространственный чертёж точными вычислениями, но сами по себе не отменяют обоснование: нужно объяснить выбор модели и связь вычислений с исходной фигурой.

Что запомнить

• Выбор системы координат должен упрощать вычисления.
• Координаты вектора AB равны координатам B минус координаты A.
• Длину вектора находят по формуле корня из суммы квадратов его координат.
• Скалярное произведение в координатах равно сумме произведений соответствующих координат.
• Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
• Метод координат и векторный метод переводят геометрическую задачу в вычисления, но требуют аккуратного обоснования выбранной модели.