§ 25. Геометрические преобразования в пространстве

Определения и обозначения

Преобразование пространства — соответствие, при котором каждой точке пространства ставится в соответствие определённая точка. Исходную точку называют прообразом, а соответствующую ей точку — образом; например, точка A переходит в A′. Образ фигуры составляют образы всех её точек, поэтому преобразование задаёт не только новое положение фигуры, но и точное правило перехода.

Движение пространства — преобразование, сохраняющее расстояние между любой парой точек: если A переходит в A′, а B — в B′, то AB = A′B′. Это определение позволяет проверить, останутся ли неизменными размеры фигур. При движении фигуры сохраняют форму и размеры, хотя могут оказаться в другом месте.

Параллельный перенос на вектор a перемещает каждую точку на один и тот же вектор. Соответствие записывают так: для любой точки X её образ X′ удовлетворяет равенству XX′ = a. Единый вектор задаёт перенос сразу для всего пространства, поэтому по нему можно строить образы разных точек и фигур.

Симметрия относительно точки O — преобразование, при котором O является серединой отрезка, соединяющего точку и её образ. Если точка A переходит в A′, то OA = OA′, а точки A, O и A′ лежат на одной прямой. Такое правило помогает однозначно построить образ точки, а затем и всей фигуры.

Как это устроено

Чтобы получить образ фигуры, преобразуют каждую точку, которая ей принадлежит. Это следует из определения: фигура — множество точек, значит, её образ состоит из соответствующих им точек. Для многоугольника достаточно определить образы вершин, потому что отрезки между вершинами переходят в соответствующие отрезки; затем новые вершины соединяют в прежнем порядке.

При движении равенство расстояний действует для любой пары точек, а не только для концов одного выбранного отрезка. Поэтому каждый отрезок переходит в равный ему отрезок, а треугольники сохраняют длины сторон и величины углов. Отсюда следует сохранение равенства фигур и других отношений, основанных на длинах и углах.

При параллельном переносе все точки получают один и тот же вектор смещения. Если взять две точки, вектор между их образами останется равным вектору между исходными точками: одинаковое смещение не меняет разность их положений. Поэтому прямые переходят в параллельные им прямые или в себя, а фигура не меняет размеров и ориентации.

При симметрии относительно точки O образ точки X лежит на прямой XO по другую сторону от O. Центр делит отрезок XX′ пополам, поэтому для построения достаточно провести эту прямую и отложить от O расстояние, равное OX, в противоположном направлении. Если X совпадает с O, его образ тоже совпадает с центром.

Преобразования дают способ описать взаимное расположение фигур точным правилом. Если одно преобразование переводит одну фигуру в другую, можно установить, совпадают ли они по форме и размерам, и построить нужные точки образа. Так геометрические преобразования связывают наглядное перемещение фигур с проверяемыми свойствами расстояний и точек.

Сравнение преобразований пространства

Сначала смотри, каким правилом задаётся образ точки, а затем проверяй, сохраняются ли расстояния. Параллельный перенос и симметрия относительно точки — частные случаи движений, поэтому в таблице у них указано сохранение расстояний. Последний столбец описывает общее свойство движения, а не отдельный способ построения.

Разбор задач

Задача 1. Точка A переходит в A′ при параллельном переносе на вектор a. Построить образы двух других точек B и C. Нужно применить к каждой точке то же самое правило, что и к A: вектор переноса не меняется от точки к точке.

1. Из точки B отложи вектор, равный и сонаправленный с a. Его конец обозначь B′, так что BB′ = a.
2. Из точки C таким же образом отложи вектор a. Конец вектора обозначь C′, поэтому CC′ = a.
3. Проверь, что длины и направления обоих векторов смещения совпадают с a. Это подтверждает, что построен именно один общий перенос.

Ответ: B′ и C′ — образы B и C; BB′ = CC′ = a.

Задача 2. Построить образ треугольника ABC при симметрии относительно точки O. У каждой вершины нужно построить свою симметричную точку. После этого образ треугольника получится соединением трёх найденных образов.

1. Проведи прямые AO, BO и CO, продолжая их за центр O, если нужно.
2. На прямой AO отметь A′ по другую сторону от O так, чтобы OA′ = OA; аналогично построй B′ и C′. Тогда O — середина AA′, BB′ и CC′.
3. Соедини A′, B′ и C′ в том же порядке, что A, B и C. Полученный треугольник A′B′C′ и есть образ исходного.

Ответ: образ треугольника — A′B′C′, где O является серединой каждого из отрезков AA′, BB′ и CC′.

Задача 3. Движение переводит вершины тетраэдра ABCD в точки A′, B′, C′ и D′. Обосновать, что тетраэдры равны. Сопоставление вершин задано движением, поэтому можно применить его главное свойство ко всем парам вершин, а не только к одной стороне.

1. Для каждой пары вершин расстояние между образами равно расстоянию между исходными точками. Например, A′B′ = AB, A′C′ = AC и A′D′ = AD.
2. То же верно для остальных пар, поэтому равны длины всех шести соответствующих рёбер двух тетраэдров.
3. Движение сохраняет углы и фигуру целиком, следовательно, соответствующие грани совпадают по форме и размерам. Значит, тетраэдры равны.

Ответ: тетраэдры ABCD и A′B′C′D′ равны, поскольку движение сохраняет расстояния, а значит, форму и размеры.

Типичные ошибки

Ошибка — представлять преобразование только как смену положения фигуры, не указывая, куда переходит каждая её точка. Так думают, когда привычно воспринимают преобразование как физическое перемещение целого предмета. Проверь себя: можешь ли ты по правилу найти образ произвольной точки? Если нет, описание преобразования неполно.

При переносе иногда откладывают от разных точек векторы разной длины или направления. Это происходит, если строить образ каждой вершины отдельно и не сверять построения с одним вектором. Проверка проста: для всех точек X должно выполняться XX′ = a, то есть смещения равны и сонаправлены.

При симметрии относительно точки центр порой располагают не посередине между точкой и её образом. Причина — путаница с симметрией относительно прямой, где действует другое правило. Проведи отрезок между точкой и образом: центр должен лежать на нём, а расстояния от него до концов должны быть равны.

Нельзя считать, что любое преобразование сохраняет расстояния. Такую ошибку вызывают примеры переносов и симметрий, которые действительно сохраняют длины. Чтобы проверить вывод, установи, является ли преобразование движением: равенство расстояний гарантировано именно движением, а не произвольным преобразованием.

Связь с другими темами

Для работы с преобразованиями нужны понятия вектора и середины отрезка: вектор задаёт смещение при переносе, а середина — условие симметрии относительно точки. Также понадобятся знания о параллельности прямых и плоскостей, чтобы описывать положение образов. Равенство фигур помогает формулировать результат движения: соответствующие фигуры имеют одинаковые форму и размеры.

Преобразования применяют при изучении симметрии пространственных тел и доказательстве равенства фигур. В стереометрических задачах на построение они помогают определить, где расположены образы точек и целых фигур. Это превращает задачу о взаимном расположении объектов в последовательное построение по заданному правилу.

Что запомнить

• Преобразование пространства сопоставляет точкам их образы.
• Образ фигуры состоит из образов всех её точек.
• Движение сохраняет расстояния между точками.
• Параллельный перенос задаётся одним вектором для всех точек.
• При симметрии относительно точки центр является серединой отрезка между точкой и её образом.
• Преобразование сохраняет расстояния только тогда, когда оно является движением.