§ 24. Векторы в пространстве

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указано направление. Его обозначают двумя буквами со стрелкой сверху: AB⃗; первая буква показывает начало A, вторая — конец B. Длину вектора записывают |AB⃗|. Такое обозначение позволяет одновременно учитывать, откуда и куда направлено перемещение.

Нулевой вектор — вектор, начало и конец которого совпадают. Его обозначают, например, AA⃗ или 0⃗, а его длина равна нулю. Поскольку он не перемещает точку, у него нет определённого направления. Нулевой вектор нужен, в частности, как результат умножения вектора на ноль.

Равные векторы — векторы одинаковой длины и одинаково направленные. У них могут быть разные начала и концы, потому что положение в пространстве не меняет ни длину, ни направление вектора. Поэтому равенство позволяет сравнивать перемещения, выполненные в разных местах.

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Они могут быть сонаправленными, если смотрят в одну сторону, или противоположно направленными, если смотрят в разные стороны. Это свойство помогает распознавать векторы, которые отличаются только направлением или длиной.

Как это устроено

Вектор в пространстве сохраняет смысл направленного отрезка: у него есть начало, конец и направление от первого к второму. Если такой отрезок переместить параллельно самому себе, его длина не изменится, потому что расстояние между концами остаётся прежним. Направление тоже сохраняется, так как линия перемещения не поворачивается. Значит, расположение в разных местах пространства не меняет сам вектор.

Чтобы установить равенство векторов, сравнивают две характеристики: длину и направление. Совпадения только длины недостаточно, поскольку векторы могут смотреть в разные стороны. Совпадения направления также недостаточно, если длины различаются. Общее начало не требуется: достаточно мысленно перенести один вектор параллельно себе и проверить, совпадёт ли он со вторым.

Сумму двух векторов строят по правилу треугольника: конец первого совмещают с началом второго, а затем соединяют начало первого с концом второго. Так получается общее перемещение, выполненное сначала по одному вектору, затем по другому. Для совмещения разрешено параллельно переносить векторы, потому что перенос сохраняет их длину и направление. Если приложить оба вектора к одному началу, ту же сумму можно получить как диагональ параллелограмма.

Разность векторов заменяют сложением: a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗). Противоположный вектор −b⃗ имеет ту же длину, что и b⃗, но направлен в обратную сторону. Поэтому сначала строят его, затем складывают с первым вектором по правилу треугольника. Такой способ сводит вычитание к уже знакомому построению суммы.

При умножении вектора на число его длина умножается на модуль этого числа. Если число положительное, направление сохраняется; если отрицательное — меняется на противоположное, а при нуле получается нулевой вектор. Результат умножения коллинеарен исходному вектору, потому что лежит на той же прямой или на параллельной ей. Поэтому нулевые и коллинеарные векторы естественно возникают при действиях с векторами.

Основные отношения и действия с векторами в пространстве

В таблице удобно сначала найти нужное понятие или действие, а затем проверить, что оно означает для длины и направления. При построениях помните: для суммы и разности важно не просто сравнить длины, а правильно расположить векторы. Умножение на отрицательное число меняет направление, но не превращает вектор в вектор другой длины без соответствующего множителя.

Разбор задач

Задача 1. На рёбрах куба указаны направленные отрезки. Определите, какие из соответствующих векторов равны. Поскольку конкретное расположение стрелок может быть разным, решение состоит в проверке каждого кандидата на равенство. Нельзя делать вывод только по тому, что отрезки являются рёбрами одного куба.

1. Для каждого направленного отрезка отметьте его длину и направление от начала к концу.
2. Сравните длины: в кубе все рёбра имеют одинаковую длину, но диагонали и рёбра равными по длине не являются.
3. Среди отрезков одинаковой длины сопоставьте направления: равными будут те, которые параллельны и смотрят в одну сторону.

Ответ. Равны векторы, изображённые равными по длине и сонаправленными отрезками. Разные начала этому не мешают; отрезки одинаковой длины с противоположными стрелками задают противоположные, а не равные векторы.

Задача 2. Даны векторы AB⃗ и BC⃗. Постройте AB⃗ + BC⃗ и укажите его начало и конец. Здесь конец первого вектора B уже совпадает с началом второго, поэтому правило треугольника применяется сразу. Не нужно соединять начала векторов или менять их направления.

1. Проверьте порядок: сначала выполняется перемещение из A в B, затем из B в C.
2. По правилу треугольника проведите вектор от начала первого отрезка A к концу второго C.
3. Обозначьте полученный вектор AC⃗: он показывает общее перемещение из A в C.

Ответ. AB⃗ + BC⃗ = AC⃗. Начало суммы — A, конец — C.

Задача 3. В параллелепипеде выразите вектор диагонали через векторы вдоль трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Обозначим общую вершину A, а концы этих рёбер — B, D и E. Противоположную вершину диагонали обозначим C₁, а соответствующие векторы рёбер — AB⃗, AD⃗ и AE⃗.

1. Из вершины A последовательно задайте перемещение по AB⃗, затем по ребру, параллельному AD⃗, и по ребру, параллельному AE⃗.
2. По правилу параллелепипеда сумма трёх направленных рёбер, приложенных к одной вершине, приводит в противоположную вершину.
3. Запишите итоговое равенство, проверив, что каждый вектор направлен от A по соответствующему ребру.

Ответ. AC₁⃗ = AB⃗ + AD⃗ + AE⃗. Если направление одного из заданных векторов рёбер обращено, вместо него в сумме нужно использовать противоположный вектор.

Типичные ошибки

Ошибка: считать равными любые векторы одинаковой длины. Так думают, если сравнивают только расстояния между концами отрезков и забывают о стрелках. Для равенства нужны и одинаковая длина, и одинаковое направление. Проверьте себя: сонаправлены ли стрелки?

Ошибка: полагать, что равные векторы обязаны иметь общее начало. Это происходит, когда вектор воспринимают только как конкретный отрезок на чертеже. На самом деле его можно параллельно переносить, сохраняя длину и направление. Чтобы проверить равенство, мысленно совместите начала переносом и сравните получившиеся стрелки.

Ошибка: путать противоположный вектор с вектором другой длины. Слова «противоположный» иногда ошибочно связывают с изменением размера, хотя меняется только направление. У противоположных векторов длины равны, а стрелки смотрят в разные стороны. Проверьте длины и сопоставьте направления.

Ошибка: при сложении соединять начала векторов. Так теряется смысл последовательных перемещений и получается неверная конструкция. По правилу треугольника начало второго вектора совмещают с концом первого. Перед построением суммы проверьте, что путь идёт от начала первого к концу второго.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужно знать направленный отрезок, длину отрезка и параллельность прямых. Эти понятия помогают определить, что именно сравнивают и как устанавливают направление.

Векторный язык пригодится при изучении координат: геометрические объекты и действия с ними можно будет описывать числами. Он также помогает выстраивать методы решения задач о фигурах в пространстве.

Правила сложения векторов связывают геометрию с физикой. Например, несколько перемещений или воздействий можно представить векторами и заменить их общим результатом — суммой.

Что запомнить

• Вектор задаётся длиной и направлением.
• Равные векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
• Нулевой вектор имеет нулевую длину.
• Противоположные векторы равны по длине и противоположно направлены.
• Сумму векторов строят по правилу треугольника или параллелограмма.
• Разность векторов — сумма первого вектора с вектором, противоположным второму.