"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Вектор — это направленный отрезок, который описывает перемещение: у него есть длина и направление. В пространстве его можно переносить параллельно самому себе, поэтому один вектор изображают в разных местах. Над векторами складывают, вычитают и умножают их на число; эти действия помогают описывать перемещения в геометрических фигурах и доказывать свойства отрезков. Главное — учитывать не только длины, но и направления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вектор — направленный отрезок, у которого указаны начало и конец. Если вектор обозначен AB, он направлен от точки A к точке B: перестановка букв меняет направление. Длину задаёт расстояние между концами, поэтому вектор описывает и величину перемещения, и то, куда оно происходит.
Длина вектора — длина отрезка, который его изображает; для AB её записывают |AB|, а для вектора a — |a|. Вектор длины 1 называют единичным. Длина нужна, чтобы сравнивать перемещения и понимать, насколько длинным будет результат действий с векторами.
Равные векторы имеют одинаковые длины и одинаковые направления. Их начала могут находиться в разных точках пространства: параллельный перенос не меняет сам вектор. Это позволяет выбирать удобное место для построения суммы или сравнения векторов.
Коллинеарные векторы параллельны одной прямой или лежат на одной прямой. Они могут быть направлены в одну сторону или в противоположные стороны. Понятие помогает установить, лежат ли перемещения вдоль одной линии, не смешивая это с их длинами.
В пространстве вектор задаётся так же, как на плоскости, потому что важны только его длина и направление, а не место изображения. Поэтому направленный отрезок можно параллельно перенести в любую точку: при переносе расстояние между концами и направление не меняются. Это удобно, когда исходные векторы расположены далеко друг от друга, но для построения их суммы нужно совместить конец одного с началом другого.
Чтобы сложить два вектора по правилу треугольника, расположите их последовательно: начало второго совместите с концом первого. Тогда путь сначала по первому, затем по второму вектору равносилен одному перемещению от начальной точки первого до конечной точки второго. Именно поэтому сумма направлена от начала первого к концу второго, а не получается простым сложением длин.
Правило параллелограмма строит ту же сумму, если оба вектора отложены от общего начала. Достройте параллелограмм так, чтобы исходные векторы стали его соседними сторонами: диагональ из общей начальной точки будет суммой. Правило удобно тем, что сразу показывает результат двух перемещений, выполняемых из одной точки; оно совпадает с правилом треугольника, поскольку противоположные стороны параллелограмма равны и сонаправлены.
Разность векторов определяют через сложение: a − b = a + (−b). Противоположный вектор −b имеет ту же длину, что b, но направлен в обратную сторону, поэтому к первому вектору нужно прибавить именно его. Если векторы имеют общее начало, разность a − b направлена от конца b к концу a: эти два конца вместе с началом показывают геометрический смысл вычитания.
При умножении вектора на число его длина умножается на модуль числа, потому что перемещение растягивается или укорачивается в заданное число раз. При положительном множителе направление сохраняется, а при отрицательном становится противоположным; знак меняет сторону движения, а не только его длину. Если множитель равен нулю, результатом будет нулевой вектор, длина которого равна нулю.
| Действие | Геометрическое построение | Направление и длина результата |
|---|---|---|
| Сложение по правилу треугольника | Начало второго вектора совмещают с концом первого. | От начала первого к концу второго; длина равна длине отрезка между этими точками. |
| Сложение по правилу параллелограмма | Векторы откладывают от общего начала и достраивают параллелограмм. | Диагональ из общего начала; длина определяется этой диагональю. |
| Вычитание векторов | К первому вектору прибавляют вектор, противоположный второму. | Для общего начала направлен от конца второго вектора к концу первого. |
| Умножение вектора на число | Длину исходного вектора умножают на модуль числа. | При положительном множителе направление сохраняется, при отрицательном меняется на обратное. |
Сначала выберите построение по расположению векторов: для последовательного пути подходит правило треугольника, для общего начала — параллелограмм. При вычитании не забудьте развернуть второй вектор, а при умножении учитывайте знак числа.
Условие. В тетраэдре ABCD построить вектор, равный сумме AB и BC. Нужно определить, какое одно перемещение заменяет два последовательных перехода по рёбрам. Положение точки D для этого построения не требуется.
Ответ: AC.
Условие. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ выразить AC₁ через AB, AD и AA₁. Диагональ AC₁ ведёт от одной вершины основания к противоположной вершине верхней грани. Разобьём это перемещение на шаги вдоль рёбер.
Ответ: AC₁ = AB + AD + AA₁.
Условие. M и N — середины рёбер AB и CD тетраэдра ABCD. Выразить MN через AC и BD. Удобно провести путь от M к N через вершины, для которых можно записать векторы через данные диагонали.
Ответ: MN = ½(AC + BD).
Считать векторы равными только из-за одинаковой длины — ошибка: они могут быть направлены по-разному. Так происходит, когда сравнивают лишь размеры отрезков и забывают о стрелках. Проверьте оба признака: длины должны совпадать, и направления тоже.
При сложении иногда соединяют начала векторов или складывают их длины, не учитывая расположение. Это кажется естественным, если думать о векторах как об обычных отрезках, но такой расчёт не описывает итоговое перемещение. Постройте сумму по правилу треугольника или параллелограмма и проверьте её начало и конец.
Векторы AB и BA нельзя считать одним и тем же: у них одни концы, но противоположные направления. Путаница возникает, если не следить за порядком букв в обозначении. Чтобы проверить себя, прочитайте обозначение как путь: AB — из A в B, BA — из B в A.
При умножении на отрицательное число неверно только изменять длину, оставляя прежнее направление. Ошибку допускают, сосредоточившись на модуле множителя и забыв его знак. Например, множитель −2 даёт вектор вдвое длиннее исходного, но направленный в противоположную сторону.
Для работы с векторами понадобятся направленные отрезки и параллельный перенос: они объясняют, почему вектор можно изображать в разных точках. Построение суммы опирается на умение строить параллелограмм, а разбор задач о серединах — на отношения отрезков. Эти действия позволяют описывать геометрические перемещения короткими равенствами.
Векторы применяют при решении задач о геометрических фигурах, а также при доказательстве равенства и параллельности отрезков. Позже те же действия станут основой координатного метода в пространстве: вектор можно будет задавать числами и вычислять его характеристики по координатам.
Может ли один и тот же вектор быть изображён в разных местах пространства?
Да. Вектор можно перенести параллельно самому себе, сохранив его длину и направление. Поэтому равные векторы могут иметь разные начальные точки.
Чем равные векторы отличаются от векторов одинаковой длины?
У равных векторов совпадают и длины, и направления. Векторы одинаковой длины могут быть направлены по-разному, поэтому равными не являются.
Как построить сумму двух векторов, если они приложены к разным точкам?
Перенесите один из векторов параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом другого. Сумма направлена от начала первого вектора к концу перенесённого второго.
Почему разность векторов можно заменить сложением?
Вычесть вектор — значит прибавить противоположный ему вектор. У противоположного вектора та же длина, но обратное направление, поэтому разность строится по обычному правилу сложения.
Что происходит с вектором при умножении на отрицательное число?
Длина вектора умножается на модуль числа, а направление становится противоположным. Например, при умножении на −2 получается вектор вдвое длиннее исходного, направленный в обратную сторону.
35. Векторы в пространстве
