"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Векторы в пространстве можно складывать, вычитать и умножать на числа — так удобно описывать перемещения и выражать один вектор через другие. Сумму строят по правилу треугольника или параллелограмма, а разность заменяют сложением с противоположным вектором. При умножении длина меняется в соответствии с модулем числа, а направление зависит от его знака. Эти действия подчиняются привычным свойствам, поэтому ими можно пользоваться не только на чертеже, но и в вычислениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вектор в пространстве — направленный отрезок, то есть отрезок, у которого отмечено направление от начала к концу. Вектор с началом A и концом B обозначают AB⃗ (в некоторых записях стрелку над буквами опускают); A — начало, B — конец. Такое обозначение помогает отличать сам вектор от обычного отрезка AB, для которого направление не задано.
Суммой векторов a и b называют вектор, который получают по правилу треугольника или параллелограмма; запись — a + b. При правиле треугольника второй вектор ставят вслед за первым, а при правиле параллелограмма оба вектора начинают из одной точки. Сумма описывает общее перемещение, возникающее при выполнении двух перемещений подряд.
Разность векторов a и b — это вектор, который при сложении с b даёт a. Её записывают a − b, причём a − b = a + (−b), где −b — вектор, противоположный b. Такая запись позволяет свести вычитание к уже знакомому сложению.
Произведением вектора на число λ называют вектор λa, длина которого равна |λ| · |a|. При положительном λ его направление совпадает с направлением a, а при отрицательном — противоположно; при λ = 0 получается нулевой вектор. Это действие позволяет растягивать или менять направление вектора, сохраняя его линию действия.
Чтобы сложить векторы в пространстве, достаточно перенести второй вектор параллельно самому себе и совместить его начало с концом первого. Тогда ломаная из двух последовательных векторов заменяется одним отрезком со стрелкой от начальной точки к конечной. Перенос допустим, потому что он не меняет ни длину, ни направление вектора. Поэтому способ работает и тогда, когда исходные векторы расположены в разных плоскостях.
Если два вектора имеют общее начало, можно построить на них параллелограмм: через конец каждого проводят прямую, параллельную другому вектору. Диагональ, проведённая из общего начала, равна сумме этих векторов. Это следует из правила треугольника: одна сторона параллелограмма можно перенести к концу другой, и диагональ соединит начало первого с концом второго. Параллелограмм особенно удобен, когда оба слагаемых уже изображены из одной точки.
Вычитание строят через противоположный вектор. У вектора −b та же длина, что у b, но направление обратное, поэтому по правилу сложения a − b = a + (−b). Если a и b имеют общее начало, то результат a − b можно сразу изобразить стрелкой от конца b к концу a: именно такой переход, будучи дополнен вектором b, приводит к концу a. Важно следить за порядком: при замене его на b − a направление результата изменится.
При умножении a на число λ длина меняется в |λ| раз, поскольку число задаёт коэффициент растяжения или сжатия. Если λ положительно, направление сохраняется; если отрицательно, вектор разворачивается на противоположное, а при λ = 0 длина становится нулевой. Например, 3a втрое длиннее a и сонаправлен с ним, а −½a вдвое короче и направлен обратно. Для нулевого исходного вектора любое такое произведение тоже остаётся нулевым.
Сложение векторов переместительно и сочетательно, а умножение на числа согласуется со сложением: λ(a + b) = λa + λb. Также выполняется равенство (λμ)a = λ(μa), а умножение на 1 не меняет вектор. Эти свойства следуют из геометрического смысла действий и не зависят от того, как именно нарисованы векторы: их можно переносить, не меняя длины и направления. Поэтому выражение можно преобразовывать, группируя слагаемые или вынося общий числовой множитель.
| Действие или свойство | Правило или запись | Геометрический смысл |
|---|---|---|
| Сложение векторов | a + b | Последовательное перемещение; диагональ параллелограмма при общем начале |
| Переместительное свойство сложения | a + b = b + a | Порядок двух слагаемых не меняет сумму |
| Сочетательное свойство сложения | (a + b) + c = a + (b + c) | Можно по-разному группировать последовательные перемещения |
| Противоположный вектор | b + (−b) = 0 | Равные по длине обратные перемещения взаимно уничтожаются |
| Вычитание векторов | a − b = a + (−b) | К a прибавляют вектор, обратный b |
| Умножение вектора на число | |λa| = |λ| · |a| | Длина масштабируется, направление зависит от знака λ |
| Распределительное свойство относительно суммы векторов | λ(a + b) = λa + λb | Масштабирование суммы равносильно масштабированию каждого слагаемого |
| Сочетательное свойство умножения на числа | (λμ)a = λ(μa) | Последовательное изменение масштаба равно одному общему масштабированию |
В таблице собраны правила, которые помогают строить векторы и упрощать выражения. Сначала определите, какое действие требуется, затем выберите подходящую запись и проверьте её геометрический смысл. При преобразовании выражений следите, чтобы порядок вычитания не менялся без изменения знака.
Условие. По трём точкам A, B и C постройте AB⃗ + BC⃗ и укажите равный ему вектор. Нужно заметить, что конец первого слагаемого B совпадает с началом второго. Значит, векторы уже расположены последовательно и не требуют переноса.
Ответ: AB⃗ + BC⃗ = AC⃗. Равенство выражает простой смысл: пройти из A в B, а затем из B в C — то же, что сразу переместиться из A в C. Направление результата важно: обратный вектор CA⃗ в общем случае не равен этой сумме.
Условие. Постройте разность a − b, если векторы a и b имеют общее начало O. Обозначим их концы A и B соответственно, так что a = OA⃗, b = OB⃗. Требуется найти вектор, который при прибавлении b даст a.
Ответ: a − b = BA⃗. Вектор BA⃗ соединяет концы исходных векторов, причём стрелка направлена от конца вычитаемого b к концу уменьшаемого a. Такая проверка через сложение особенно полезна, чтобы не перепутать порядок.
Условие. В параллелепипеде ABCD A₁B₁C₁D₁ выразите вектор AC₁ через векторы рёбер AB, AD и AA₁. Чтобы дойти из A в C₁, удобно разбить путь на перемещения вдоль трёх рёбер, направление которых задано в условии. Этот способ не требует искать длины рёбер или углы между ними.
Ответ: AC₁⃗ = AB⃗ + AD⃗ + AA₁⃗. Здесь использованы равенства параллельных рёбер и последовательное сложение перемещений. Если отдельное ребро направлено противоположно выбранному вектору, его нужно записать с минусом.
Нельзя складывать длины векторов вместо самих векторов: сумма зависит не только от длин, но и от направлений. Ошибка возникает, когда вектор воспринимают как обычный отрезок; например, два равных по длине вектора могут быть направлены навстречу и дать нулевую сумму. Проверяйте построение по правилу треугольника или параллелограмма, а не только по числам.
При правиле треугольника начало второго вектора должно оказаться у конца первого. Если этого не сделать, ломаная не будет описывать два последовательных перемещения. Часто путают это с расположением векторов из общего начала, подходящим для параллелограмма. Проверьте, что стрелка результата идёт от начала первого вектора к концу второго.
Отрицательный множитель меняет не только длину, но и направление вектора. Ошибку допускают, замечая модуль числа, но забывая его знак: −2a не сонаправлен с a. Для проверки представьте сначала множитель по модулю, а затем учтите знак; при отрицательном множителе стрелка должна быть обращена в противоположную сторону.
Вычитания a − b и b − a не равны: перестановка уменьшаемого и вычитаемого меняет знак результата. Путаница появляется, если смотреть только на концы векторов, не учитывая, откуда направлена стрелка. Замените разность суммой с противоположным вектором или проверьте, что (a − b) + b = a; для b − a аналогичная проверка даст b.
Для работы с векторами нужны понятия длины, направления, равных и противоположных векторов: равные векторы можно переносить параллельно, не меняя их. Действия над векторами помогают раскладывать перемещение по направлениям рёбер и решать задачи о фигурах в пространстве. Позже эти же действия будут записывать через координаты: координатное представление превращает сложение и умножение на число в вычисления с числами.
Как построить сумму двух векторов в пространстве?
Перенесите второй вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом первого. Вектор от начала первого до конца перенесённого второго и будет суммой. Перенос не меняет длину и направление вектора.
Чем правило треугольника отличается от правила параллелограмма?
По правилу треугольника векторы располагают последовательно: конец первого соединяют с началом второго. По правилу параллелограмма оба вектора имеют общее начало, а их сумму задаёт диагональ параллелограмма из этой точки. Оба построения дают один и тот же результат.
Почему разность векторов можно заменить сложением?
Разность a − b определяется как вектор, который при сложении с b даёт a. Таким вектором будет сумма a и вектора −b, противоположного b. Поэтому a − b = a + (−b).
Что происходит с направлением вектора при умножении на отрицательное число?
Направление произведения становится противоположным направлению исходного вектора. Его длина равна длине исходного вектора, умноженной на модуль числа. Например, −2a направлен противоположно a и вдвое длиннее.
Можно ли складывать векторы, расположенные в разных плоскостях?
Да. Векторы в пространстве не обязаны лежать в одной плоскости: второй можно перенести параллельно так, чтобы его начало оказалось в конце первого. Соединяющий начало первого с концом второго вектор будет их суммой.
36. Действия над векторами в пространстве
