"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Три некомпланарных вектора задают направления во всём пространстве, поэтому любой вектор можно представить как сумму их кратных. Числа, на которые умножают исходные векторы, называют коэффициентами разложения. Для одной и той же тройки некомпланарных векторов коэффициенты определяются единственным образом, но при выборе другой тройки могут измениться. Это свойство используют, чтобы вводить координаты в пространстве и решать задачи о векторах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Некомпланарные векторы — три вектора, направленные отрезки которых нельзя расположить в одной плоскости с общим началом. Иначе говоря, никакие два из них не задают плоскость, содержащую третий. Это условие нужно проверить, прежде чем использовать тройку для описания всего пространства.
Разложение вектора по трём некомпланарным векторам — представление заданного вектора x в виде x = αa + βb + γc. Здесь a, b и c — выбранные векторы, а α, β и γ — числа. Такая запись позволяет заменить геометрическую задачу вычислениями с коэффициентами.
Коэффициенты разложения — числа α, β и γ, на которые умножают исходные векторы. Они показывают, сколько раз и в каком направлении берётся каждый вектор. Для фиксированной тройки некомпланарных векторов коэффициенты определяются единственным образом, поэтому запись разложения однозначна.
Базис в пространстве — тройка некомпланарных векторов, по которой можно разложить любой вектор пространства. Каждый вектор тогда задаётся тремя коэффициентами. Это определение нужно для введения координат в пространстве: коэффициенты разложения можно считать координатами вектора относительно выбранного базиса.
Два неколлинеарных вектора с общим началом задают плоскость: их сочетания направлены внутри неё. Если третий вектор тоже лежит в этой плоскости, никакими их кратными нельзя получить направление наружу. Некомпланарность означает, что третий вектор добавляет направление, которого первые два не охватывают. Поэтому три таких вектора задают не одну плоскость, а всё пространство.
Умножение вектора на число изменяет его длину, а отрицательный множитель меняет и направление на противоположное. Сложение нескольких векторов можно представить как последовательное перемещение: конец первого становится началом второго, и так далее. Значит, подходящими кратными трёх некомпланарных векторов можно пройти из начала заданного вектора в его конец. Вектор результирующего перемещения и будет суммой этих кратных.
Теорема утверждает: любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам, причём разложение только одно. Существование следует из того, что первые два вектора задают плоскость, а третий позволяет выйти из неё; соответствующие кратные можно сложить, чтобы получить заданное направление и длину. Для единственности предположим, что один вектор записан двумя способами, и вычтем одно равенство из другого. Получится нулевой вектор как сумма кратных a, b и c; ненулевые коэффициенты в такой сумме означали бы, что один из трёх векторов лежит в плоскости двух других, что противоречит некомпланарности.
Коэффициенты относятся не к вектору самому по себе, а к выбранному набору a, b и c. Если выбрать другую тройку, то для того же вектора придётся искать другие кратные, и числа могут измениться. Например, даже обычный вектор можно описать разными координатами относительно разных осей. Поэтому, сравнивая разложения, сначала убедись, что векторы базиса одинаковы.
Параллелепипед наглядно показывает, как складываются три направления. Из одной вершины выходят три ребра, и они некомпланарны; обозначим соответствующие векторы a, b и c. Перенос ребра параллельно самому себе не меняет его вектор, поэтому путь к противоположной вершине можно пройти по трём последовательным сторонам. Диагональ такого параллелепипеда равна a + b + c, а её коэффициенты в этом базисе равны 1, 1 и 1.
Пользуйся таблицей, чтобы отличать условие применимости правила от того, что оно даёт. Сначала проверь, что три вектора некомпланарны, а затем читай выводы о существовании и единственности разложения. Последняя строка помогает связать алгебраическую запись с геометрической картиной.
| Что рассматривается | Условие или содержание | Что следует |
|---|---|---|
| Тройка векторов | Три вектора некомпланарны | Они задают направления во всём пространстве |
| Разложение произвольного вектора | x = αa + βb + γc | Любой вектор можно представить такой суммой |
| Единственность разложения | Тройка a, b, c фиксирована и некомпланарна | Коэффициенты α, β, γ определены однозначно |
| Коэффициенты разложения | Числа перед векторами выбранной тройки | Зависят от выбора базиса |
| Геометрическая модель | Три ребра параллелепипеда из одной вершины | Диагональ равна сумме векторов этих рёбер |
Задача 1. В параллелепипеде из одной вершины выходят рёбра, задающие векторы a, b и c. Выразить через них вектор диагонали, выходящей из той же вершины.
Обозначим общую вершину точкой O, а противоположную ей вершину точкой M. Нужно добраться из O в M, поэтому рассмотрим последовательный путь вдоль трёх рёбер, параллельных заданным. Направления этих рёбер соответствуют векторам a, b и c.
По правилу сложения векторов перемещение по нескольким участкам равно сумме векторов этих участков. Переносим рёбра параллелепипеда к месту, где начинается следующий участок: их направления и длины не меняются. Тогда путь от O до M выражается как a + b + c.
Ответ: вектор диагонали равен a + b + c.
Задача 2. В тетраэдре ABCD выразить вектор CD через векторы AB, AC и AD. Чтобы найти вектор от C к D, удобно провести путь через точку A. При таком переходе важно не перепутать направление отрезка AC.
Пройдём из C в A, а затем из A в D. По правилу сложения векторов получаем CD = CA + AD. Это равенство верно, потому что конец первого участка совпадает с началом второго.
Вектор CA направлен противоположно вектору AC, поэтому CA = −AC. Подставим это в равенство пути: CD = −AC + AD. Вектор AB здесь не появляется, потому что выбранный маршрут не проходит по участку, связанному с точками A и B.
Ответ: CD = −AC + AD.
Задача 3. Векторы a, b и c некомпланарны; u = 2a − b + 3c и v = −a + 4b + c. Найти разложение вектора 2u − v по a, b и c. Подстановка заданных выражений позволит собрать отдельно слагаемые с каждым вектором.
Сначала подставим вместо u и v их разложения: 2u − v = 2(2a − b + 3c) − (−a + 4b + c). Минус перед скобками меняет знаки всех слагаемых внутри неё. Раскрывая скобки, получаем 4a − 2b + 6c + a − 4b − c.
Сложим коэффициенты при одинаковых векторах: для a это 4 + 1 = 5, для b это −2 − 4 = −6, для c это 6 − 1 = 5. Значит, искомый вектор выражается как 5a − 6b + 5c. Поскольку исходная тройка некомпланарна, эта запись является единственным разложением по ней.
Ответ: 2u − v = 5a − 6b + 5c.
Считать достаточным условием, что все три вектора ненулевые. Ненулевые векторы могут лежать в одной плоскости, поэтому такое условие ещё не гарантирует разложение любого вектора пространства. Ошибку допускают, когда проверяют длины, но не взаимное расположение направлений. Перед применением теоремы проверь, что никакой из трёх векторов не лежит в плоскости двух других.
Менять направление вектора, не меняя знак. Векторы CD и DC имеют одинаковую длину, но направлены противоположно, поэтому CD = −DC. Путаница часто возникает при записи пути между точками без проверки, откуда и куда он направлен. Сверь начало и конец каждого участка; если направление обращено, поставь минус.
Считать коэффициенты неизменными при замене тройки векторов. Коэффициенты определяются выбранным базисом, а один вектор может иметь разные наборы коэффициентов относительно разных троек. Ошибку допускают, перенося уже найденные числа в новую запись без пересчёта. Проверяй, какие именно векторы стоят в разложении, и подставляй их заново при смене базиса.
Утверждать, что разложение существует и единственно для любой тройки. Если три вектора компланарны, их кратные не выйдут из общей плоскости, а значит, не представят вектор с направлением вне неё. Ненулевость каждого вектора этого не исправляет. Самопроверка проста: сначала установи некомпланарность, и только после этого используй теорему о существовании и единственности.
Для работы с разложениями нужны правила сложения векторов, умножения вектора на число и действия с направленными отрезками. Особенно полезно помнить, что при обращении направления знак меняется. Позже коэффициенты разложения станут координатами вектора относительно базиса в пространстве. С их помощью удобно выполнять вычисления с векторами и решать задачи стереометрии, в том числе связанные с расстояниями.
Что значит, что три вектора некомпланарны?
Это значит, что их нельзя расположить в одной плоскости так, чтобы начала всех трёх векторов совпали. Если векторы ненулевые, но лежат в одной плоскости, они компланарны и не задают все направления пространства.
Почему по трём некомпланарным векторам можно разложить любой вектор?
Два неколлинеарных вектора позволяют получить направления в плоскости, натянутой на них. Третий вектор не лежит в этой плоскости и добавляет направление, которого в ней не было. Поэтому сочетания трёх векторов охватывают всё пространство.
Почему разложение вектора единственно?
Если бы один вектор имел два разных разложения, при вычитании равенств получилось бы нулевое сочетание трёх некомпланарных векторов с ненулевыми коэффициентами. Такое сочетание невозможно: оно означало бы, что один из векторов выражается через два других и лежит в их плоскости. Значит, коэффициенты в разложениях совпадают.
Могут ли коэффициенты разложения быть отрицательными?
Да. Отрицательный коэффициент означает, что соответствующее слагаемое направлено противоположно исходному вектору. Например, −b указывает на вектор той же длины, что b, но с обратным направлением.
Как выразить вектор диагонали параллелепипеда через векторы его рёбер?
Обозначьте три ребра, выходящие из одной вершины, векторами a, b и c. Чтобы попасть в противоположную вершину, можно последовательно пройти по этим трём направлениям. Поэтому диагональ равна a + b + c.
37. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
