"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия (базовый и углублённый уровни)", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Плоскость в пространстве можно задать линейным уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Его коэффициенты A, B и C задают нормальный вектор — перпендикуляр к плоскости, а свободный член D помогает определить её положение. Уравнение составляют по точке и нормали или по трём неколлинеарным точкам. С его помощью проверяют, лежит ли точка на плоскости, а также выясняют, параллельны или перпендикулярны две плоскости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнением плоскости называют равенство Ax + By + Cz + D = 0, которому удовлетворяют координаты всех точек этой плоскости. Здесь A, B, C и D — числа, причём A, B и C не могут одновременно равняться нулю. Иначе уравнение не задаёт плоскость: оно либо невыполнимо, либо верно для любой точки пространства.
Нормальный вектор плоскости — ненулевой вектор, перпендикулярный прямым, лежащим в плоскости. Для уравнения Ax + By + Cz + D = 0 таким вектором служит n = (A, B, C). Он помогает составлять уравнение плоскости и сравнивать её с другими плоскостями.
Если известны точка M₀(x₀; y₀; z₀) плоскости и её нормаль n = (A, B, C), используют запись A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. Она выражает перпендикулярность нормали вектору от M₀ до любой точки плоскости. Такой способ удобен, когда положение плоскости задано точкой и направлением нормали.
Плоскость можно задать тремя неколлинеарными точками — такими, которые не лежат на одной прямой. Через них проводят два направляющих вектора, а их векторное произведение даёт нормаль плоскости. Этот способ позволяет перейти от координат трёх точек к уравнению.
Рассмотрим точки, координаты которых удовлетворяют Ax + By + Cz + D = 0. Если взять две такие точки и вычесть их равенства, свободный член D исчезнет, а для разности координат получится AΔx + BΔy + CΔz = 0. Это равенство означает, что вектор (A, B, C) перпендикулярен любому направлению между точками плоскости. Поэтому коэффициенты при координатах задают нормаль, а линейное уравнение описывает плоскость, перпендикулярную этой нормали.
Пусть M₀(x₀; y₀; z₀) — известная точка плоскости, а M(x; y; z) — любая другая её точка. Вектор M₀M имеет координаты (x − x₀; y − y₀; z − z₀) и лежит в плоскости, значит, перпендикулярен нормали. Перпендикулярность векторов равносильна нулю их скалярного произведения: A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0. Так получается уравнение по точке и нормали.
Если раскрыть скобки, выйдет Ax + By + Cz − Ax₀ − By₀ − Cz₀ = 0. Числа A, B и C остаются коэффициентами при координатах, а выражение −Ax₀ − By₀ − Cz₀ становится свободным членом D. Поэтому из общего уравнения нормаль восстанавливают, просто выписывая коэффициенты при x, y и z; свободный член к ней не относится.
Чтобы найти плоскость через три точки A, B и C, составляют векторы AB и AC. Если точки неколлинеарны, эти векторы не параллельны, а их векторное произведение — ненулевой вектор, перпендикулярный обоим и потому являющийся нормалью плоскости. Подставляют эту нормаль и координаты одной из точек в точечно-нормальную форму. Если точки коллинеарны, векторное произведение равно нулю: общей прямой недостаточно, чтобы выбрать одну плоскость.
Для двух плоскостей сначала сравнивают их нормали. Коллинеарные нормали означают, что плоскости параллельны или совпадают, а перпендикулярные нормали — что плоскости перпендикулярны. Чтобы проверить точку, подставляют её координаты в уравнение: нулевой результат означает принадлежность. Эти проверки сводят геометрические вопросы к вычислениям с координатами и векторами.
| Случай или форма | Уравнение | Что позволяет определить |
|---|---|---|
| Общее уравнение плоскости | Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) ≠ (0, 0, 0) | Плоскость и её нормальный вектор (A, B, C) |
| Уравнение по точке и нормальному вектору | A(x − x₀) + B(y − y₀) + C(z − z₀) = 0 | Плоскость через точку (x₀; y₀; z₀) с заданной нормалью |
| Уравнение через три точки | Уравнение по одной точке и нормали AB × AC | Плоскость через три неколлинеарные точки |
| Проверка принадлежности точки плоскости | Подстановка координат точки в уравнение | Принадлежит ли точка плоскости |
| Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей | Параллельность: нормали коллинеарны; перпендикулярность: их скалярное произведение равно нулю | Взаимное расположение плоскостей |
Выбирайте форму уравнения по исходным данным: если известны точка и нормаль, сразу используйте точечно-нормальную запись; если даны три точки, сначала найдите нормаль. Для проверки принадлежности достаточно подстановки координат, а для сравнения плоскостей — сопоставить нормальные векторы. При коллинеарных нормалях отдельно проверьте, совпадают плоскости или только параллельны.
Условие. Составить уравнение плоскости через M(1; −2; 3) с нормалью n = (2; 1; −4). Точка задаёт положение плоскости, а компоненты нормали сразу подходят на место коэффициентов в точечно-нормальной форме. Поэтому дополнительных векторов строить не нужно.
Ответ: 2x + y − 4z + 12 = 0. Проверка подстановкой координат M даёт 2 − 2 − 12 + 12 = 0, поэтому точка действительно лежит в плоскости.
Условие. Найти плоскость через A(1; 0; 2), B(0; 2; 1), C(3; 1; 0). Сначала построим два вектора внутри искомой плоскости: их векторное произведение будет перпендикулярно плоскости и даст нормаль. Затем воспользуемся точкой A.
Ответ: 3x + 4y + 5z − 13 = 0. Подстановка точки A даёт 3 − 13 + 10 = 0, а координаты B и C также удовлетворяют уравнению.
Условие. Определить взаимное расположение плоскостей 2x − y + 3z − 1 = 0 и 4x − 2y + 6z + 5 = 0, затем найти расстояние между ними. Их нормали пропорциональны, поэтому плоскости параллельны или совпадают. Для расстояния нужно привести уравнения к одинаковым коэффициентам при x, y и z.
Ответ: плоскости параллельны и не совпадают; расстояние между ними равно 7/(2√14).
Принимать D за координату нормали. Свободный член не задаёт направление плоскости: нормаль составляют только коэффициенты A, B, C. Ошибка возникает из-за того, что все числа в уравнении воспринимаются как равноправные. Для проверки выпишите коэффициенты только при x, y и z.
Допускать A = B = C = 0. Тогда уравнение превращается в D = 0: при D ≠ 0 решений нет, а при D = 0 ему удовлетворяют все точки пространства. Ни один случай не задаёт плоскость. Перед вычислениями проверьте, что хотя бы один из коэффициентов A, B, C ненулевой.
Терять знаки при раскрытии скобок. Например, −4(z − 3) даёт −4z + 12, а не −4z − 12. Ошибка обычно появляется, когда множитель распределяют не на каждый член скобок. Проверьте результат подстановкой исходной точки: она обязана удовлетворять полученному уравнению.
Считать, что любые три точки определяют плоскость однозначно. Если точки лежат на одной прямой, векторное произведение двух направляющих векторов будет нулевым, а плоскость останется не единственной. Такое упрощение часто возникает из-за забывчивости о слове «неколлинеарные». Перед поиском нормали проверьте, что направляющие векторы не пропорциональны.
Для работы нужны координаты точек и векторов в пространстве, скалярное и векторное произведения, а также представление о прямой. Нормаль связывает уравнение плоскости с векторными вычислениями: скалярное произведение проверяет перпендикулярность, а векторное помогает найти нормаль по трём точкам.
Уравнение плоскости используют в стереометрии и аналитической геометрии, чтобы находить расстояния и углы, исследовать взаимное расположение прямых и плоскостей. Координатное описание также применяется в компьютерной графике: оно позволяет проверять положение точек и строить поверхности.
Почему коэффициенты A, B и C образуют нормальный вектор?
Для любых двух точек плоскости разность их координат удовлетворяет равенству AΔx + BΔy + CΔz = 0. Это равенство означает, что вектор (A, B, C) перпендикулярен каждому направлению внутри плоскости. Поэтому он является нормальным вектором.
Как понять, принадлежит ли заданная точка плоскости?
Подставьте координаты точки вместо x, y и z в уравнение плоскости. Если левая часть равна нулю, точка принадлежит плоскости; если нет — не принадлежит.
Можно ли задать плоскость двумя точками?
Нет: через две различные точки проходит прямая, а через одну прямую можно провести бесконечно много плоскостей. Чтобы однозначно задать плоскость, нужны дополнительные данные, например нормальный вектор.
Почему через три точки иногда нельзя однозначно провести плоскость?
Если три точки не лежат на одной прямой, они задают единственную плоскость. Если точки коллинеарны, все они лежат на одной прямой, и через неё проходит бесконечно много плоскостей.
Как определить, параллельны ли две плоскости?
Найдите нормальные векторы плоскостей по коэффициентам при x, y и z. Если эти векторы коллинеарны, плоскости параллельны или совпадают; чтобы различить случаи, сравните их уравнения.
§ 2. Уравнение плоскости
