§ 3. Угол между прямыми в пространстве

Определения и обозначения

Угол между двумя прямыми — меньший из углов, образованных пересекающимися прямыми, параллельными данным; его величина лежит от 0° до 90°. Если прямые пересекаются, угол можно определить прямо в точке пересечения, а если нет — использовать параллельные копии. Это определение позволяет одинаково сравнивать направления прямых при любом их расположении в пространстве.

Угол между скрещивающимися прямыми — угол между пересекающимися прямыми, проведёнными через одну точку параллельно исходным скрещивающимся прямым. Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, поэтому у них нет общей вершины, в которой можно было бы измерить угол. Определение заменяет их парой пересекающихся прямых с теми же направлениями.

Направляющий вектор прямой — ненулевой вектор, параллельный этой прямой и задающий её направление. Его можно перемещать параллельно самому себе, не меняя направления, поэтому он удобен для вычислений даже тогда, когда прямые не пересекаются. С помощью координат направляющих векторов находят угол между прямыми.

Перпендикулярные прямые в пространстве — прямые, угол между которыми равен 90°. Они могут быть как пересекающимися, так и скрещивающимися. Это понятие позволяет проверять взаимное расположение прямых не только по чертежу, но и с помощью вычислений.

Как это устроено

Если прямые пересекаются, их угол образуется непосредственно в общей точке. При этом обычно получаются два разных угла, сумма которых равна 180°, поэтому для однозначного результата выбирают меньший. Если прямые параллельны, их направления одинаковы или противоположны, и угол между ними принимают равным 0°. Так определение охватывает оба простых случая и задаёт единое правило выбора угла.

Скрещивающиеся прямые не имеют общей точки, значит, непосредственно образовать угол не могут. Через произвольную точку проводят две прямые, параллельные исходным: они пересекаются в этой точке и сохраняют направления исходной пары. При переносе точки параллельные прямые не поворачиваются, поэтому угол между ними остаётся тем же. Именно поэтому выбор точки не влияет на результат.

При пересечении прямых один из образовавшихся углов может быть тупым, но он дополняет меньший до 180°. Угол между прямыми договорились считать меньшим, так что его значение не превосходит 90°. Если заменить направляющий вектор на противоположный, направление вектора изменится, но сама прямая останется той же. Выбор меньшего угла делает результат независимым от такого выбора.

Когда известны направляющие векторы a и b, используют формулу cos φ = |a·b|/(|a||b|), где φ — угол между прямыми. Скалярное произведение учитывает направления векторов, а длины в знаменателе позволяют получить косинус угла, а не величину, зависящую от размеров векторов. Модуль в числителе нужен потому, что выбранные векторы могут образовывать тупой угол, хотя меньший угол между прямыми острый. После вычисления косинуса находят соответствующий угол от 0° до 90°.

Скалярное произведение равно нулю, когда векторы образуют прямой угол; тогда их направляющие задают перпендикулярные прямые. Пропорциональные ненулевые векторы имеют одинаковое или противоположное направление, поэтому прямые параллельны. Эти признаки полезны, потому что позволяют установить взаимное расположение направлений без построения угла. Однако нулевое произведение означает перпендикулярность прямых, а не обязательно их пересечение: в пространстве они могут быть скрещивающимися.

Определение угла между прямыми в пространстве

Сначала определите, как расположены прямые, затем выберите способ из средней колонки. Для вычислений удобно использовать направляющие векторы, а для скрещивающихся прямых геометрическое определение помогает представить нужные параллельные копии. Последняя строка таблицы даёт быстрый критерий перпендикулярности.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Найти угол между прямыми с направляющими векторами a = (1, 1, 0) и b = (1, 0, 0). Поскольку векторы заданы координатами, строить прямые не требуется. Достаточно найти их скалярное произведение и длины, а затем применить формулу косинуса.

1. Вычислим скалярное произведение: a·b = 1·1 + 1·0 + 0·0 = 1.
2. Найдём длины: |a| = √(1² + 1² + 0²) = √2, |b| = √(1² + 0² + 0²) = 1.
3. Подставим значения: cos φ = |1|/(√2·1) = 1/√2. Угол от 0° до 90°, косинус которого равен 1/√2, составляет 45°.

Ответ: 45°. Модуль в числителе в этой задаче не меняет значение, потому что скалярное произведение положительно. В других примерах он защищает от выбора тупого угла между направлениями векторов.

Задача 2

Условие. Найти угол между скрещивающимися прямыми l₁: (x, y, z) = (t, 0, 0) и l₂: (x, y, z) = (0, s, 1). Параметры t и s меняются независимо, поэтому у первой прямой направляющий вектор a = (1, 0, 0), а у второй b = (0, 1, 0). Напрямую угол не измерить, так как прямые не имеют общей точки.

1. Выберем точку на l₁, например начало координат O = (0, 0, 0).
2. Через O проведём прямую, параллельную l₂. Её направляющий вектор останется b = (0, 1, 0).
3. Теперь сравним пересекающиеся прямые с векторами a и b: a·b = 1·0 + 0·1 + 0·0 = 0. Их угол прямой, следовательно, угол между исходными скрещивающимися прямыми тоже равен 90°.

Ответ: 90°. Сдвиг второй прямой к точке O не меняет её направления, а значит, не меняет и искомый угол. Нулевое скалярное произведение здесь сразу даёт нужный результат.

Задача 3

Условие. При каком значении параметра a прямые с направляющими векторами a₁ = (1, a, 2) и a₂ = (2, −1, 1) перпендикулярны? Перпендикулярность означает, что угол между векторами равен 90°. Поэтому вместо поиска угла достаточно приравнять к нулю скалярное произведение.

1. Запишем условие: a₁·a₂ = 0.
2. Подставим координаты: 1·2 + a·(−1) + 2·1 = 0.
3. Упростим уравнение: 2 − a + 2 = 0, откуда 4 − a = 0 и a = 4.

Ответ: a = 4. Проверка: при этом значении скалярное произведение равно 2 − 4 + 2 = 0. Значит, направляющие векторы, а вместе с ними и прямые, перпендикулярны.

Типичные ошибки

Для скрещивающихся прямых иногда пытаются измерить угол непосредственно, хотя у них нет общей точки. Ошибка возникает, если по рисунку мысленно продолжить прямые и принять видимое расположение за пересечение. Нужно заменить исходные прямые пересекающимися параллельными копиями; проверка проста: новые прямые должны иметь общую точку и сохранять направления исходных.

Другой промах — выбрать больший угол между направлениями и получить значение больше 90°. Так происходит, когда не учитывают, что у пересекающихся прямых образуются смежные углы, а угол между прямыми по определению меньший. Проверяйте итог: значение должно лежать от 0° до 90°. Если получили тупой угол, возьмите дополнительный до 180°.

В формуле иногда забывают модуль скалярного произведения. Тогда отрицательный результат для косинуса приводит к тупому углу, который зависит от выбранного направления векторов, а не соответствует меньшему углу между прямыми. Перед вычислением угла используйте |a·b| и убедитесь, что значение косинуса неотрицательно. Направляющие векторы можно развернуть, не меняя сами прямые.

Непересекающиеся прямые иногда автоматически называют параллельными. Это неверно: в пространстве они могут быть скрещивающимися, а параллельность требует одного направления и расположения в одной плоскости. Сравните направляющие векторы: пропорциональность показывает параллельность, но при непересекающихся непропорциональных прямых нужно рассматривать случай скрещивания. Не делайте вывод только по отсутствию точки пересечения.

Связь с другими темами

Для работы с углом между прямыми нужно знать их взаимное расположение: пересечение, параллельность и скрещивание. Также пригодятся координаты вектора, его длина и вычисление скалярного произведения. Эти умения связывают геометрическое определение угла с вычислительным способом и позволяют решать задачи в пространстве по координатам. Позже тот же подход помогает изучать углы между прямыми и плоскостями, расстояния и другие задачи стереометрии.

Что запомнить

• Угол между прямыми — меньший угол между ними или между их пересекающимися параллельными копиями.
• Угол между прямыми лежит в пределах от 0° до 90°.
• Угол между параллельными прямыми равен 0°.
• Скрещивающиеся прямые сравнивают через параллельные им пересекающиеся прямые.
• Формула: cos φ = |a·b|/(|a||b|).
• Прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю.