§ 4. Угол между плоскостями

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Полуплоскости называют гранями, а общую прямую — ребром двугранного угла. Это понятие описывает взаимное положение двух плоскостей и служит основой для измерения угла между ними.

Линейный угол двугранного угла — угол между двумя лучами, проведёнными из одной точки ребра перпендикулярно ребру и лежащими в разных гранях. Его можно представить как угол в сечении, которое перпендикулярно общей прямой плоскостей. Именно этот угол удобно измерять на чертеже и использовать в решениях.

Угол между плоскостями — величина острого или прямого линейного угла двугранного угла, образованного данными плоскостями. Иными словами, выбирают меньший угол между специальными перпендикулярами к ребру. Такое определение позволяет сравнивать наклон плоскостей независимо от их положения в пространстве.

Перпендикулярные плоскости — плоскости, угол между которыми равен 90°. Их линейный угол также является прямым. Это определение превращает пространственную задачу о плоскостях в проверку одного конкретного угла.

Как это устроено

При пересечении двух плоскостей их общая прямая становится ребром двугранного угла. По разные стороны от ребра расположены две грани, и каждая из них может сочетаться с другой плоскостью двумя способами. Поэтому в пространстве образуются четыре двугранных угла, попарно равных или дополнительных.

Чтобы измерить угол между плоскостями, на ребре выбирают точку O. В каждой плоскости через O проводят прямую, перпендикулярную ребру; затем берут лучи этих прямых, лежащие в разных гранях. Они образуют линейный угол, потому что находятся в одном сечении, перпендикулярном ребру. Так пространственный наклон плоскостей заменяется обычным плоским углом.

Выбор точки на ребре не влияет на результат. Если перенести точку вдоль общей прямой, получатся параллельные сечения, а соответствующие перпендикуляры сохранят свои направления. Угол между параллельно перенесёнными лучами остаётся тем же, поэтому построение можно выполнять в наиболее удобной точке.

При таком построении возникают два различных значения угла: острое и тупое, их сумма равна 180°. Углом между плоскостями считают меньший из них, поскольку он показывает минимальный наклон одной плоскости относительно другой. Поэтому угол между плоскостями всегда находится в пределах от 0° до 90°.

Плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их линейный угол равен 90°. Для параллельных плоскостей общей линии пересечения нет, но направление наклона не меняется: условно угол между ними принимают равным 0°. В координатных задачах тот же принцип выражают через нормали плоскостей.

Ситуации и признаки при нахождении угла между плоскостями

Сначала определите, пересекаются ли плоскости и где проходит их общая прямая. Затем стройте только перпендикуляры к этой прямой, а не произвольные линии. Если задача координатная, аналогом такого построения будут нормальные векторы.

Разбор задач

Задача 1

Плоскости α и β пересекаются по прямой c. Через точку O на c проведены лучи a и b, перпендикулярные c, причём угол aOb равен 60°. Требуется найти угол между плоскостями.

1. Луч a лежит в плоскости α, а луч b — в плоскости β.
2. Оба луча выходят из точки ребра и перпендикулярны c, значит, угол aOb является линейным.
3. По определению угол между плоскостями равен острому линейному углу, поэтому искомая величина уже дана в условии.

Ответ: 60°.

Задача 2

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдём угол между плоскостями ABCD и ABC₁. Их общая прямая — AB, поэтому нужно построить перпендикуляры к AB в обеих плоскостях. В первой плоскости удобно взять AD, а во второй — направление, параллельное диагонали грани BCC₁B₁.

1. В плоскости ABCD отрезок AD перпендикулярен AB.
2. В плоскости ABC₁ луч из A, параллельный BC₁, также перпендикулярен AB: его направление состоит из равных составляющих вдоль BC и вертикального ребра.
3. Угол между AD и BC₁ равен 45°, так как BC₁ — диагональ квадратной грани, а AD параллелен BC.

Ответ: 45°.

Задача 3

Найдём угол между плоскостями 2x − y + 2z = 0 и x + 2y − 2z = 0. Коэффициенты при x, y, z образуют нормальные векторы этих плоскостей: n₁ = (2; −1; 2), n₂ = (1; 2; −2). Векторный способ сразу даёт острый угол между плоскостями.

1. Скалярное произведение нормалей: n₁ · n₂ = 2 − 2 − 4 = −4.
2. Длины нормалей равны 3 и 3, поэтому cos φ = |−4|/(3 · 3) = 4/9.
3. Следовательно, φ = arccos(4/9) ≈ 63,6°, что уже является острым значением.

Ответ: arccos(4/9) ≈ 63,6°.

Типичные ошибки

Ученик берёт любые две линии, лежащие в данных плоскостях. Это неверно, потому что их угол может зависеть от случайного направления и не отражать наклон плоскостей. Проверьте, перпендикулярны ли выбранные линии общей прямой плоскостей.

Ребро двугранного угла иногда принимают за его линейный угол. Ребро — это общая прямая плоскостей, а линейный угол строится двумя лучами в гранях. Для самопроверки найдите точку на ребре и мысленно проведите из неё два перпендикуляра.

Некоторые выбирают тупой угол между лучами. Угол между плоскостями по определению является меньшим, поэтому не превышает 90°. Если получился угол больше 90°, замените его на смежный: 180° − φ.

Нельзя доказывать перпендикулярность плоскостей только перпендикулярностью двух случайных линий. Эти линии должны образовывать именно линейный угол, то есть быть перпендикулярными общей прямой плоскостей. Проверьте оба условия построения, а затем сравните угол с 90°.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны определения двугранного угла, перпендикулярности прямых и плоскостей, а также теорема о трёх перпендикулярах. Они помогают обосновать, какие линии можно использовать при построении линейного угла. Без этих свойств трудно корректно свести пространственную задачу к плоской.

Тема опирается на свойства параллельных прямых и плоскостей и на построение ортогональных сечений. Параллельность объясняет независимость результата от точки на ребре. Ортогональное сечение превращает двугранный угол в обычный угол на плоскости.

Понятие угла между плоскостями используется при изучении расстояний и углов в пространстве, многогранников, координатного метода и нормальных векторов плоскости. В координатах геометрическое построение заменяется вычислением через скалярное произведение нормалей. Это позволяет решать задачи без пространственного чертежа.

Что запомнить

• Общая прямая двух пересекающихся плоскостей называется их ребром.
• Линейный угол строят двумя перпендикулярами к ребру, лежащими в разных гранях.
• Угол между плоскостями равен острому линейному углу.
• Угол между плоскостями не зависит от точки, выбранной на ребре.
• Угол между плоскостями находится в пределах от 0° до 90°.
• Плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угол равен 90°.