14.5. Угол между плоскостями

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Общую прямую называют ребром, а сами полуплоскости — гранями двугранного угла. Это понятие описывает взаимное положение двух плоскостей около линии их пересечения.

Линейный угол двугранного угла — угол, полученный при сечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. На сечении грани дают две прямые, а угол между ними удобно измерить на чертеже. Именно он показывает величину двугранного угла.

Угол между плоскостями — величина меньшего из углов, образованных линейными углами двух пересекающихся плоскостей. Для параллельных плоскостей этот угол принимают равным 0°. Такое определение позволяет однозначно сравнивать наклон плоскостей.

Перпендикулярные плоскости — плоскости, угол между которыми равен 90°. Их пересечение образует прямой двугранный угол. Это особый случай взаимного расположения плоскостей.

Как это устроено

Если две плоскости пересекаются по прямой, то по разные стороны от этой прямой возникают четыре двугранных угла. Соседние углы в сумме дают 180°, а вертикальные углы равны. Поэтому достаточно выбрать меньший из них: он не превышает 90° и одинаково характеризует наклон плоскостей.

Чтобы построить линейный угол, выберите точку на ребре двугранного угла. В каждой грани через эту точку проведите прямую, перпендикулярную ребру. Эти две прямые лежат в одной секущей плоскости, перпендикулярной ребру, поэтому угол между ними и будет нужным линейным углом.

Точка на ребре может быть любой: при её перемещении вдоль ребра выбранные перпендикулярные направления не меняют взаимного наклона. То же самое происходит при выборе другой плоскости, перпендикулярной ребру. Поэтому все линейные сечения одного двугранного угла дают равные углы.

Для нахождения угла между плоскостями строят по одному линейному углу в каждой из них и сравнивают получившиеся направления. Из четырёх углов выбирают меньший, то есть α, где 0° ≤ α ≤ 90°. Если плоскости параллельны, их угол считают нулевым, даже если они не имеют общей точки.

Плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. Действительно, угол между этой прямой и её проекцией на вторую плоскость равен 90°, а этот угол является линейным углом двугранного угла. Значит, угол между самими плоскостями тоже равен 90°.

Угол между плоскостями и связанные понятия

В таблице сначала найдите нужный случай, затем сопоставьте ему способ определения и свойство. При решении задачи полезно перейти от плоскостей к двум прямым в перпендикулярном сечении. Так пространственный угол становится обычным плоским углом.

Разбор задач

Задача 1

Линейный угол двугранного угла равен 60°. Требуется найти угол между его гранями. Здесь уже дан угол, который получается в перпендикулярном сечении, поэтому дополнительное построение не нужно.

1. По определению угол между гранями равен меньшему линейному углу.
2. Данный линейный угол равен 60°, а это число меньше 90°.
3. Следовательно, выбирать дополнительный угол 120° нельзя.

Ответ: 60°.

Задача 2

В кубе ABCD A₁B₁C₁D₁ найдём угол между плоскостями ABCD и ABC₁. Их общее ребро — AB, значит, нужно построить сечение плоскостью, перпендикулярной AB.

1. Возьмём сечение через точку B, содержащее отрезки BC и BC₁. Оба отрезка перпендикулярны AB, поэтому угол CBC₁ является линейным углом.
2. Треугольник BCC₁ прямоугольный и равнобедренный: BC = CC₁ как рёбра куба.
3. Значит, угол CBC₁ равен 45°.

Ответ: угол между плоскостями ABCD и ABC₁ равен 45°.

Задача 3

Найдём угол между двумя гранями правильного тетраэдра с ребром a. Пусть грани имеют общее ребро AB, а их третьи вершины — C и D; M — середина AB. Тогда CM и DM являются высотами граней и перпендикулярны AB.

1. Угол CMD — линейный угол двугранного угла. В равностороннем треугольнике CM = DM = a√3/2.
2. В правильном тетраэдре CD = a. По теореме косинусов: CD² = CM² + DM² − 2CM·DM·cos∠CMD.
3. Подставляем длины: a² = 3a²/4 + 3a²/4 − 3a²/2·cos∠CMD.
4. Отсюда cos∠CMD = 1/3, поэтому угол между гранями равен arccos(1/3) ≈ 70,5°.

Ответ: cos α = 1/3, α ≈ 70,5°.

Типичные ошибки

Берут больший угол. Иногда к линейному углу 60° добавляют 120° и называют результат углом между плоскостями. Ошибка возникает из-за невнимания к слову «меньший» в определении. Проверьте, что итоговый угол не превышает 90°.

Измеряют угол между произвольными прямыми. Прямые, выбранные в гранях, могут не отражать наклон плоскостей. Для линейного угла они обязательно должны проходить через одну точку ребра и быть перпендикулярными этому ребру. Перед вычислением проверьте оба условия.

Путают угол плоскостей с углом нормалей. Нормаль перпендикулярна плоскости, но направления нормалей могут дать дополнительный, тупой угол. Нужно брать меньший угол между нормалями, тогда он совпадёт с углом между плоскостями.

Делают вывод по двум перпендикулярным прямым. Наличие в плоскостях пересекающихся перпендикулярных прямых само по себе не доказывает перпендикулярность плоскостей. Ищите прямую одной плоскости, перпендикулярную всей другой плоскости.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны углы между прямыми, перпендикулярность прямой и плоскости, теорема о трёх перпендикулярах и свойства двугранного угла. В задачах часто строят сечения многогранников, применяют теорему Пифагора, теорему косинусов и тригонометрию. Позже угол между плоскостями используется при изучении расстояний и углов в пространстве, координатного и векторного методов, а также взаимного расположения плоскостей.

Что запомнить

• Ребро двугранного угла — общая прямая его граней.
• Линейный угол строят сечением, перпендикулярным ребру.
• Угол между плоскостями равен меньшему линейному углу.
• Угол между плоскостями лежит в пределах от 0° до 90°.
• Параллельные плоскости образуют угол 0°.
• Перпендикулярные плоскости образуют угол 90°.
• Величина угла между плоскостями не зависит от выбора линейного сечения.