33. Угол между плоскостями

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Эта прямая называется ребром двугранного угла: она отделяет одну грань от другой и задаёт направление, относительно которого сравнивают их наклон. Без указания ребра нельзя понять, какой именно двугранный угол рассматривается.

Линейный угол двугранного угла — угол между лучами, лежащими в его гранях и перпендикулярными ребру. Чтобы его построить, выбирают точку на ребре и проводят через неё по одному такому лучу в каждой грани. Линейный угол нужен, чтобы измерить двугранный угол обычным плоским углом.

Угол между плоскостями — меньший из углов, образованных при пересечении плоскостей; он не превышает 90°. Его находят как линейный угол одного из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Выбор меньшего угла делает ответ однозначным.

Перпендикулярные плоскости — плоскости, угол между которыми равен 90°. Это пространственный аналог перпендикулярных прямых, только величину угла определяют через сечение плоскостей. Запись α ⟂ β означает, что плоскости α и β перпендикулярны.

Как это устроено

При пересечении двух плоскостей их общая прямая становится ребром двугранных углов. Чтобы измерить наклон плоскостей, рассматривают сечение, перпендикулярное этой прямой: оно пересекает каждую плоскость по прямой, а угол между полученными прямыми показывает наклон граней. Если взять сечение под другим углом к ребру, линии сечения могут дать иной угол, который уже не измеряет двугранный угол.

Для построения линейного угла выберите точку на линии пересечения плоскостей. Через эту точку проведите в каждой плоскости луч, перпендикулярный линии пересечения; эти лучи принадлежат соответствующему сечению. Угол между ними и есть линейный угол. Выбор другой точки на ребре не меняет его величину: параллельные переносы сохраняют направления перпендикулярных ребру лучей в обеих плоскостях.

Пересекающиеся плоскости делят пространство на четыре части, поэтому возникают четыре двугранных угла. Углы напротив друг друга вертикальны и равны, а соседние двугранные углы смежны и в сумме дают 180°. Значит, из двух различных величин одна не больше 90°, а другая не меньше 90°. Углом между плоскостями называют меньшую величину, чтобы для одной пары плоскостей не получать два разных ответа.

Параллельные плоскости не имеют общей линии пересечения, поэтому у них нет ребра, по которому можно построить линейный угол. Однако угол между плоскостями определяют и для такого случая: его принимают равным 0°. Это согласуется с тем, что направления параллельных плоскостей совпадают, то есть их наклон друг к другу отсутствует.

Признак перпендикулярности плоскостей звучит так: если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Перпендикуляр к плоскости образует прямой угол с каждой прямой этой плоскости, проходящей через основание перпендикуляра. Поэтому в сечении, перпендикулярном линии пересечения плоскостей, получается линейный угол 90°. Именно это связывает условие о прямой с требуемым углом между плоскостями.

Как определить угол между плоскостями

Сначала определите взаимное расположение плоскостей: пересекаются они или параллельны. Для пересекающихся плоскостей найдите линию пересечения и постройте перпендикуляры к ней в обеих плоскостях. Сравните полученный угол с 90° и, если нужно, выберите меньший.

Разбор задач

Задача 1. В двух пересекающихся плоскостях из точки их общей прямой проведены лучи, каждый перпендикулярен этой прямой. Угол между лучами равен 38°. Найдите угол между плоскостями.

1. Общая прямая плоскостей является ребром образованных ими двугранных углов.
2. Оба луча перпендикулярны этому ребру и лежат каждый в своей плоскости, значит, угол между ними — линейный угол.
3. Данный угол острый, следовательно, он уже является меньшим углом между плоскостями.

Ответ: 38°.

Задача 2. Докажите, что плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости.

1. Обозначим плоскости α и β, а прямую a, лежащую в α и перпендикулярную β.
2. Плоскость α и β не параллельны: они пересекаются, поскольку a направлена перпендикулярно β и проходит через точку вне β.
3. Рассмотрим линейный угол двугранного угла между α и β. В плоскости β его сторона перпендикулярна линии пересечения.
4. Направление a также перпендикулярно β, поэтому оно перпендикулярно этой стороне. Линейный угол получается прямым, значит, угол между α и β равен 90°.

Ответ: плоскости перпендикулярны.

Задача 3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите косинус угла между плоскостью A₁BD и плоскостью основания ABCD.

1. Плоскости пересекаются по BD: точки B и D принадлежат обеим плоскостям.
2. Пусть O — середина BD, а ребро куба равно a. В квадрате ABCD диагонали перпендикулярны, поэтому AO ⟂ BD и AO = a/√2.
3. Отрезок A₁O также перпендикулярен BD: его горизонтальная составляющая AO перпендикулярна BD, а вертикальная составляющая AA₁ тоже перпендикулярна BD.
4. Значит, угол между AO и A₁O — линейный угол между плоскостями. В прямоугольном треугольнике AA₁O имеем AA₁ = a, AO = a/√2, поэтому A₁O = a√(3/2).
5. Косинус искомого угла равен AO/A₁O = (a/√2)/(a√(3/2)) = 1/√3.

Ответ: 1/√3.

Типичные ошибки

Ошибка — считать углом между плоскостями любой угол между прямыми, лежащими в этих плоскостях. Такие прямые могут быть наклонены к линии пересечения и не отражать наклон самих плоскостей; их угол зависит от выбора прямых. Обычно ошибку допускают, потому что не проверяют положение линий. Перед вычислением убедитесь, что обе стороны угла перпендикулярны общей прямой плоскостей.

Если стороны линейного угла не перпендикулярны ребру, полученный угол не измеряет двугранный угол. Его могут принять за подходящий, потому что он выглядит как угол между гранями на чертеже, однако рисунок не гарантирует нужной перпендикулярности. Проверка проста: отдельно обоснуйте, что каждая сторона лежит в своей грани и образует с ребром угол 90°.

Выбирать больший из углов при пересечении плоскостей — значит нарушать определение угла между ними. Ошибка возникает из-за того, что в чертеже может быть изображён именно тупой двугранный угол. Проверьте результат: угол между плоскостями должен быть не больше 90°; если получили тупой угол, возьмите смежный, равный 180° минус найденный.

Считать, что у параллельных плоскостей угла нет, — тоже неверно: для них угол определён и равен 0°. Такое заблуждение связано с тем, что плоскости не пересекаются и у них нельзя выделить общее ребро для построения линейного угла. Проверьте взаимное расположение: если плоскости параллельны, используйте принятое значение 0°, а не оставляйте ответ неопределённым.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны представления о двугранном угле, перпендикулярности прямых и плоскостей и построении перпендикуляра к прямой в плоскости. Эти знания помогают построить линейный угол и понять, почему он измеряет наклон плоскостей. Тема применяется при доказательстве перпендикулярности плоскостей и нахождении углов в многогранниках. В пространственных задачах также полезны теоремы о перпендикулярности прямой и плоскости и свойства ортогональной проекции.

Что запомнить

• Угол между плоскостями измеряют линейным углом двугранного угла.
• Стороны линейного угла перпендикулярны линии пересечения плоскостей.
• Угол между плоскостями выбирают меньшим; он лежит от 0° до 90°.
• Угол между параллельными плоскостями равен 0°.
• Плоскости перпендикулярны, если угол между ними равен 90°.
• Если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.