14.4. Двугранный угол

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Эта прямая называется ребром двугранного угла, а полуплоскости — его гранями. По аналогии с обычным углом можно представить, как одна грань поворачивается относительно другой вокруг ребра. Такое описание помогает различать саму фигуру и её величину.

Линейный угол двугранного угла — это угол, стороны которого лежат в его гранях, а вершина находится на ребре. Его получают сечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру. В таком сечении пространственная фигура превращается в обычный плоский угол, который можно измерить транспортиром или вычислить.

Величиной двугранного угла называют величину его линейного угла. Если для одного и того же двугранного угла выбрать разные точки на ребре и построить линейные углы, их величины совпадут. Поэтому достаточно найти один подходящий линейный угол, а не измерять весь пространственный объект.

Смежные двугранные углы имеют общее ребро и одну общую грань, а две другие грани составляют плоскость. Их линейные углы оказываются смежными плоскими углами, то есть образуют развёрнутый угол. Поэтому величины таких двугранных углов в сумме равны 180°.

Как это устроено

Непосредственно сравнивать раскрытие двух граней в пространстве неудобно: они расположены в разных плоскостях, и обычный транспортир к ним не приложить. Сечение плоскостью, перпендикулярной ребру, решает эту проблему. Оно пересекает грани по двум прямым, и угол между прямыми уже можно рассматривать как привычный плоский угол. Это и позволяет измерять двугранный угол без потери нужной информации.

Чтобы построить линейный угол, сначала выберите точку на ребре. Через неё в каждой грани проведите луч, перпендикулярный ребру; оба луча лежат в одной плоскости, перпендикулярной ребру, и образуют искомый угол. Почему такая конструкция работает? Сечение перпендикулярно общей прямой, поэтому его следы в обеих гранях показывают, как грани раскрываются вокруг этой прямой.

Выбор точки на ребре не меняет величину линейного угла. При переносе точки вдоль ребра построенные перпендикуляры к каждой грани остаются параллельными соответствующим прежним перпендикулярам. Угол между двумя парами таких направлений сохраняется, поскольку параллельный перенос не меняет углов. Значит, все линейные углы одного двугранного угла равны.

На чертеже величину двугранного угла находят через его линейный угол. Сначала нужно убедиться, что стороны угла лежат в гранях и перпендикулярны ребру, а затем измерить угол или вычислить его по данным задачи. Измерять наугад угол между линиями, которые просто нарисованы на гранях, нельзя: их положение относительно ребра может быть произвольным. Верно построенное сечение превращает пространственную задачу в плоскую.

Для смежных двугранных углов можно взять сечение, перпендикулярное их общему ребру. В нём общая грань даёт одну сторону обоих плоских углов, а две другие грани лежат в одной плоскости и образуют противоположные лучи. Поэтому линейные углы становятся смежными и вместе составляют 180°. Так же складываются и величины соответствующих двугранных углов.

Основные элементы двугранного угла

Таблица помогает сначала определить, какие части фигуры даны, а затем выбрать способ измерения. Если в задаче говорится о величине двугранного угла, ищите линейный угол или сведения о нём. Для смежных углов используйте сумму 180°.

Разбор задач

Задача 1. В сечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру, получен угол 52°. Найдём величину двугранного угла. Поскольку сечение перпендикулярно ребру, а его стороны лежат в гранях, полученный угол является линейным. Значит, его величина совпадает с величиной двугранного угла.

1. Проверяем, что плоскость сечения перпендикулярна ребру: это дано в условии.
2. Распознаём угол 52° как линейный угол двугранного угла.
3. Приравниваем величины: величина двугранного угла равна 52°.

Ответ: 52°.

Задача 2. Один из смежных двугранных углов равен 137°. Нужно найти второй. Их линейные углы образуют развёрнутый угол, поэтому складываются до 180°. Следовательно, достаточно вычесть известную величину из 180°.

1. Записываем соотношение для смежных углов: α + β = 180°.
2. Подставляем известное значение: β = 180° − 137°.
3. Вычисляем: β = 43°.

Ответ: 43°.

Задача 3. Из точки на ребре проведены перпендикуляры к граням, угол между ними равен 118°. Требуется найти величину двугранного угла. Перпендикуляры к граням лежат в сечении, перпендикулярном ребру, но угол между выбранными лучами не всегда совпадает с линейным углом: в зависимости от направлений лучей он может быть дополнительным к нему. Если лучи выбраны по разные стороны от соответствующих сторон линейного угла, 118° — дополнительный угол, поэтому искомая величина равна 180° − 118°.

1. Связываем перпендикуляры с линейным углом: их направления перпендикулярны сторонам этого угла.
2. Учитываем расположение лучей: при указанной конфигурации угол 118° и линейный угол составляют 180°.
3. Вычисляем линейный угол: 180° − 118° = 62°.

Ответ: 62° при указанном расположении лучей. Если направления перпендикуляров не уточнены, одной величины угла между ними недостаточно, чтобы однозначно выбрать между углом и его дополнением до 180°.

Типичные ошибки

Ошибка — считать величиной двугранного угла угол между любыми прямыми, лежащими в его гранях. Так делают, потому что на чертеже такие линии могут выглядеть как стороны нужного угла, но их наклон к ребру не контролируется. Проверка простая: стороны линейного угла должны быть перпендикулярны ребру, а их вершина должна лежать на нём.

Ошибка — провести стороны линейного угла в гранях, но не перпендикулярно ребру. Тогда плоскость, содержащая эти стороны, не задаёт нужное сечение, и полученный угол может зависеть от выбранных линий. Проверьте обе стороны отдельно: каждая должна быть перпендикулярна ребру и проходить через общую точку на нём.

Ошибка — считать, что линейный угол меняется при выборе другой точки на ребре. Такое впечатление возникает, если на рисунке сечения показаны в разных местах и визуально выглядят неодинаково. Проверьте построение: соответствующие перпендикуляры к граням параллельны, поэтому углы между ними равны.

Ошибка — считать смежные двугранные углы равными или складывать их не до 180°. Смежность здесь означает, что две внешние грани образуют плоскость, а не то, что углы одинаковы. Постройте перпендикулярное сечение: линейные углы будут смежными и образуют развёрнутый угол, после чего сумма 180° становится очевидной.

Связь с другими темами

Для работы с двугранными углами нужны понятия полуплоскости и плоскости, умение распознавать перпендикулярные прямые и находить угол между прямыми. Эти знания позволяют правильно построить сечение и определить линейный угол. Понятие величины двугранного угла пригодится при изучении перпендикулярности плоскостей и в задачах на углы между плоскостями. В таких задачах снова важно заменить пространственное сравнение граней измерением подходящего плоского угла.

Что запомнить

• Двугранный угол образован двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.
• Общая граничная прямая называется ребром, полуплоскости — гранями.
• Линейный угол получают сечением, перпендикулярным ребру.
• Величина двугранного угла равна величине его линейного угла.
• Линейные углы одного двугранного угла равны.
• Величины смежных двугранных углов в сумме равны 180°.