"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Двугранный угол образуют две полуплоскости с общей граничной прямой. Он описывает взаимное расположение двух плоскостей и встречается, например, при изучении граней многогранника. Измерить такой пространственный угол помогает линейный угол: его получают сечением, перпендикулярным ребру. Величины этих углов равны, поэтому по линейному углу можно определить, острый двугранный угол или тупой, и решать задачи на углы между плоскостями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Он отличается от плоского угла тем, что задаёт расположение частей двух плоскостей в пространстве. Чтобы определить его меру, рассматривают специальное сечение.
Грань двугранного угла — одна из двух полуплоскостей, образующих угол. Обе грани имеют одну и ту же граничную прямую, поэтому вместе они ограничивают пространственную фигуру. Указание граней помогает понять, какие именно части плоскостей образуют угол.
Ребро двугранного угла — общая граничная прямая его граней. Оно задаёт линию, вдоль которой грани соприкасаются, и служит ориентиром для построения измерительного сечения. Без определения ребра нельзя правильно построить линейный угол.
Линейный угол двугранного угла — угол, полученный при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Его стороны лежат в гранях и перпендикулярны ребру. Именно этот плоский угол используют для измерения пространственного.
Две полуплоскости с общей прямой расходятся в пространстве подобно раскрытым страницам книги. Каждая полуплоскость является частью своей плоскости, а общая прямая — местом их соприкосновения. Одного обычного плоского угла недостаточно, чтобы описать фигуру: плоский угол задаётся лучами, тогда как здесь нужно учитывать положение целых граней.
Чтобы получить линейный угол, выберите точку на ребре и проведите через неё плоскость, перпендикулярную ребру. Эта плоскость пересечёт каждую грань по лучу, выходящему из выбранной точки. Лучи лежат в своих гранях, а поскольку плоскость сечения перпендикулярна ребру, они также перпендикулярны ему. Угол между лучами и есть линейный угол.
Величина двугранного угла определяется величиной его линейного угла. Причина в том, что перпендикулярное ребру сечение показывает, насколько одна грань повернута относительно другой в направлении, поперечном ребру. Продольное направление вдоль ребра на эту величину не влияет. Поэтому для измерения пространственной фигуры достаточно измерить полученный плоский угол.
Если выбрать на ребре другую точку, стороны линейного угла будут направлены так же, как соответствующие стороны в первом сечении. Перпендикулярные сечения можно совместить переносом вдоль ребра, а перенос не меняет направления лучей и величину угла. Поэтому все линейные углы одного двугранного угла равны. Это позволяет строить сечение там, где удобнее решать задачу.
Вид двугранного угла определяют по его линейному углу, поскольку их величины равны. При мере меньше 90° угол острый, при 90° — прямой, при значении между 90° и 180° — тупой. Если линейный угол равен 180°, двугранный угол развёрнутый: грани лежат в одной плоскости по разные стороны ребра. Так привычные названия плоских углов применяются и к пространственному углу.
| Что рассматриваем | Как образуется или определяется | Что показывает |
|---|---|---|
| Грани | Две полуплоскости с общей граничной прямой | Части плоскостей, образующие двугранный угол |
| Ребро | Общая граничная прямая граней | Линию, вдоль которой грани соприкасаются |
| Линейный угол | Угол между лучами в гранях, перпендикулярными ребру | Меру двугранного угла |
| Величина двугранного угла | Величина его линейного угла | Степень раскрытия граней |
Сначала определите грани и их общее ребро, затем найдите сечение, перпендикулярное этому ребру. Угол между линиями пересечения с гранями можно измерить как обычный плоский угол. Полученное значение и будет мерой двугранного угла.
Дан двугранный угол, нужно назвать его грани и ребро и построить линейный угол. Обозначим грани α и β, а их общую граничную прямую l. При построении важно не выбирать произвольные направления внутри граней, а обеспечить перпендикулярность сторон к ребру.
Линейный угол двугранного угла равен 68°. Требуется найти меру двугранного угла и определить его вид. Поскольку линейный угол специально строится для измерения двугранного, отдельного пересчёта градусов не требуется.
Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает грани по сторонам треугольника. Пусть в треугольнике известны углы 47° и 65°, а линейным углом является третий угол. Нужно найти именно его: другие углы треугольника сами по себе не измеряют двугранный угол.
Двугранный угол иногда принимают за обычный плоский угол, потому что оба объекта называют углами. Но плоский угол образуют два луча, а двугранный — две грани. Проверьте себя: вы должны назвать две полуплоскости и их общее ребро, а не только пару сторон.
Если сечение не перпендикулярно ребру, полученный угол не является линейным и может не совпадать с мерой двугранного угла. Эту ошибку допускают, принимая любое пересечение за подходящее. Убедитесь, что плоскость сечения образует с ребром прямой угол.
Нельзя измерять двугранный угол по произвольным отрезкам, проведённым в его гранях. Они могут быть наклонены к ребру, поэтому угол между ними не показывает нужную меру. Для проверки постройте в каждой грани сторону линейного угла, перпендикулярную ребру.
Длины выбранных отрезков не определяют величину двугранного угла. Ошибка возникает, когда внимание обращают на размер отрезков, а не на направления сторон линейного угла. Увеличьте или уменьшите такие отрезки: если направления лучей прежние, угол между ними не изменится.
Для изучения двугранного угла нужны понятия прямой, плоскости и полуплоскости, а также понимание перпендикулярности прямой и плоскости. Построение линейного угла опирается на знакомое измерение плоских углов и проведение перпендикуляров. Позже этот инструмент используют при изучении углов между плоскостями. Он также помогает решать задачи о многогранниках, где соседние грани образуют двугранные углы.
Чем двугранный угол отличается от обычного плоского угла?
Плоский угол образован двумя лучами, а двугранный — двумя полуплоскостями с общей прямой. Поэтому он показывает пространственное расположение граней, а не только направление двух лучей.
Как построить линейный угол двугранного угла?
Выберите точку на ребре и проведите через неё плоскость, перпендикулярную ребру. В каждой грани постройте луч из этой точки, перпендикулярный ребру и лежащий в данной грани. Угол между лучами будет линейным.
Почему линейный угол нужно строить в плоскости, перпендикулярной ребру?
Такое сечение убирает влияние направления вдоль ребра и показывает наклон одной грани к другой. В его плоскости стороны линейного угла перпендикулярны ребру, поэтому угол правильно измеряет двугранный.
Почему величина линейного угла не зависит от выбора точки на ребре?
Если выбрать другую точку на ребре, перпендикулярные сечения дают такие же направления сторон линейного угла. Соответствующие углы равны, поэтому мера двугранного угла остаётся той же.
Как определить, является ли двугранный угол острым или тупым?
Найдите его линейный угол и сравните величину с 90°. Если она меньше 90°, двугранный угол острый; если больше 90°, но меньше 180° — тупой.
39. Двугранный угол
