"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Погорелов А.В.
Трёхгранный угол образуют три плоских угла с общей вершиной, а многогранный — несколько таких углов, соединённых последовательно общими сторонами. Эти фигуры помогают описывать пространство около вершины многогранника. Главное — различать плоские углы граней и пространственную фигуру, знать число её рёбер и проверять условия выпуклости: для трёхгранного угла каждый плоский угол меньше суммы двух других, а сумма углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Трёхгранный угол — фигура, образованная тремя плоскими углами с общей вершиной. Стороны этих углов попарно совпадают, поэтому образуют три общих луча — ребра фигуры. Это определение помогает увидеть, как три плоских угла соединяются в пространстве, а не остаются отдельными углами.
Многогранный угол образован несколькими плоскими углами с общей вершиной, расположенными последовательно. Каждый угол соседствует с предыдущим и следующим, причём первый и последний тоже соседние. Такое замыкание цепочки нужно, чтобы грани окружали вершину, а не образовывали разомкнутую фигуру.
Грань многогранного угла — один из плоских углов, образующих фигуру. Его вершина совпадает с общей вершиной многогранного угла, а стороны направлены вдоль двух соседних рёбер. Название «грань» позволяет отдельно говорить о каждом плоском угле внутри пространственной фигуры.
Ребро многогранного угла — луч, являющийся общей стороной двух соседних граней. Все рёбра выходят из общей вершины, а каждая пара соседних граней имеет общее ребро. Это понятие нужно, чтобы описывать, как именно грани соединены друг с другом.
Обычный плоский угол целиком лежит в одной плоскости и образован двумя лучами. Чтобы получить многогранный угол, несколько плоских углов располагают вокруг общей вершины, но их стороны должны соединяться попарно. Поэтому возникает пространственная фигура: её грани находятся в разных плоскостях, а общие стороны становятся рёбрами. Одной общей вершины недостаточно — без последовательного соединения граней цельного угла не получится.
У трёхгранного угла ровно три грани, потому что его образуют три плоских угла. Каждая грань соседствует с двумя другими, и их общие стороны дают три ребра. В угле с n гранями каждая грань соединена с двумя соседними, а соседние пары при обходе образуют замкнутый цикл. Поэтому граней и рёбер поровну: по n.
Многогранный угол называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Условие не позволяет фигуре «заворачиваться» внутрь: плоскость грани служит границей, а весь угол остаётся с одной её стороны. Это свойство важно, потому что именно для выпуклого угла справедливы ограничения на величины его плоских углов.
В выпуклом трёхгранном угле каждый из трёх плоских углов меньше суммы двух остальных. Причина связана с тем, что при сечении фигуры плоскостью, перпендикулярной одному из рёбер, образуется треугольник; его угол меньше суммы двух других сторонних углов, откуда следует нужное неравенство. Проверять нужно все три угла, поскольку любой из них может оказаться слишком большим. Например, для углов 40°, 70° и 100° получаем 40 < 170, 70 < 140 и 100 < 110.
Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°. Это можно понять через сечение плоскостью, перпендикулярной направлению внутрь угла: грани задают углы выпуклого многоугольника, а их совокупность не заполняет полный оборот вокруг вершины. Равенство 360° означало бы предельное плоское расположение, а не выпуклую пространственную фигуру. Поэтому при проверке требуется именно строгое неравенство.
| Признак | Трёхгранный угол | Выпуклый многогранный угол |
|---|---|---|
| Число граней | 3 | n |
| Число рёбер | 3 | n |
| Общее условие расположения граней | Три плоских угла с общей вершиной и попарно общими сторонами | Грани расположены последовательно; первый и последний соседние |
| Соотношения между плоскими углами | Каждый угол меньше суммы двух остальных | Сумма всех углов меньше 360° |
| Сумма плоских углов | Меньше 360° | Меньше 360° |
Сначала по таблице определите, сколько граней задано и какой именно угол рассматривается. Для трёхгранного угла проверяйте три отдельных неравенства, а для выпуклого многогранного — сумму всех плоских углов. Общие условия расположения граней нужны, чтобы убедиться: речь действительно идёт о многогранном угле.
Плоские углы трёхгранного угла равны 40°, 70° и 100°. Нужно проверить, может ли такой угол существовать. Для этого сравним каждый угол с суммой двух остальных: одного сравнения недостаточно, потому что нарушиться может любое из трёх условий.
У выпуклого многогранного угла плоские углы равны 80°, 95°, 110° и 65°. Проверим условие на сумму. Складывать нужно именно плоские углы граней, а полученный результат сравнить с 360°.
У выпуклого трёхгранного угла два плоских угла равны 55°. Найдём целочисленные значения третьего угла x. Он должен быть положительным, а кроме того, все три угла должны удовлетворять условию: каждый меньше суммы двух других.
Ошибка — проверить для трёхгранного угла только одно неравенство. Ученик может решить, что удачная проверка самого большого угла автоматически подтверждает остальные, но условия нужно выполнить для каждого. Запишите три сравнения отдельно и поставьте отметку напротив каждого выполненного условия.
Плоский угол грани иногда путают с пространственным углом между гранями. В задачах на неравенства и сумму используются именно величины плоских углов, образованных сторонами каждой грани. Проверьте, какие именно углы даны: если речь о гранях, складывают или сравнивают их плоские углы.
При проверке выпуклого многогранного угла ошибочно допускают сумму 360°. Такое бывает, если строгое неравенство заменяют нестрогим или забывают смысл границы. Самопроверка проста: после вычисления суммы поставьте знак <, а не ≤; равенство условию не удовлетворяет.
Наконец, общей вершины недостаточно, чтобы назвать набор углов многогранным углом. Грани должны располагаться последовательно и иметь общие рёбра, включая соседство первой и последней. Нарисуйте порядок граней и проследите, замыкается ли цепочка общих сторон.
Для изучения многогранных углов нужно знать, что такое плоский угол, луч, вершина и общая сторона углов. Эти понятия позволяют описать грани и рёбра без обращения к рисунку. Многогранный угол связан с многогранниками: он показывает, как устроена фигура около одной её вершины. Представление о плоских углах граней также пригодится в задачах на углы и сечения в пространстве.
Чем трёхгранный угол отличается от обычного плоского угла?
Плоский угол расположен в одной плоскости и образован двумя лучами. Трёхгранный угол — пространственная фигура из трёх плоских углов, у которых общая вершина и стороны соединены попарно.
Сколько граней и рёбер у трёхгранного угла?
У него три грани — плоские углы, и три ребра — общие стороны соседних граней. Каждое ребро является лучом, выходящим из общей вершины.
Как проверить, могут ли заданные три угла быть гранями трёхгранного угла?
Проверьте все три неравенства: каждый из углов должен быть меньше суммы двух остальных. Если хотя бы одно неравенство нарушено, такого выпуклого трёхгранного угла быть не может.
Почему сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°?
Сечения выпуклого угла плоскостью, перпендикулярной его оси, дают выпуклый многоугольник. Его внутренние углы дополняют углы граней до полного оборота, поэтому сумма углов граней строго меньше 360°.
Может ли сумма плоских углов выпуклого многогранного угла равняться 360°?
Нет, для выпуклого многогранного угла сумма должна быть строго меньше 360°. Равенство не подходит: оно соответствует предельному, а не выпуклому пространственному углу.
40. Трехгранный и многогранный углы
