3.1. Двугранный угол

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Полуплоскость — часть плоскости, лежащая по одну сторону от прямой. Такой угол задаёт в пространстве не просто две поверхности, а выбранное раскрытие между ними, подобно раскрытию книги.

Грани двугранного угла — две полуплоскости, которые его образуют. Они лежат в разных плоскостях и имеют общую граничную прямую. Название «грани» помогает отличать именно выбранные части плоскостей от остальных полуплоскостей на тех же плоскостях.

Ребро двугранного угла — общая граничная прямая его граней. Оно задаёт положение угла в пространстве: вдоль этой прямой обе грани соприкасаются. Не следует путать ребро с любой прямой, появившейся при пересечении сечения и грани.

Линейный угол двугранного угла — угол, полученный при пересечении его граней плоскостью, перпендикулярной ребру. Его вершина лежит на ребре, а стороны — лучи, по которым плоскость сечения пересекает грани. Линейный угол нужен, чтобы измерить пространственный угол обычными средствами планиметрии.

Как это устроено

Назвать только две плоскости недостаточно, потому что две пересекающиеся плоскости делят пространство на несколько частей. В каждой плоскости можно выбрать полуплоскости по разные стороны от линии пересечения. Разные сочетания выбранных частей задают разные раскрытия, поэтому в определении фиксируют именно две полуплоскости с общей границей. Так становится понятно, какой двугранный угол рассматривается.

Чтобы построить линейный угол, сначала выбирают точку на ребре, а затем проводят через неё плоскость, перпендикулярную ребру. Эта плоскость пересекает каждую грань по лучу, потому что общая точка лежит на границе обеих граней, а остальные точки сечения направлены внутрь выбранных полуплоскостей. Лучи имеют общую вершину на ребре, поэтому образуют плоский угол. Условие перпендикулярности важно: сечение должно смотреть на раскрытие граней поперёк ребра, а не под наклоном.

Мера двугранного угла определяется его линейным углом, поскольку перпендикулярное сечение показывает взаимное направление граней в плоскости. Если провести другое такое сечение через иную точку ребра, направления полученных лучей будут соответствовать тому же раскрытию. Перенос сечения вдоль прямой не меняет угла между гранями, поэтому линейные углы равны. Следовательно, величина не зависит ни от положения точки на ребре, ни от расстояния сечения от выбранной точки.

В обозначении двугранного угла обычно указывают его ребро и точки, выбранные на гранях, например двугранный угол с ребром AB и точками C и D на разных гранях. Ребро AB показывает общую границу, а точки C и D помогают определить, какие именно полуплоскости имеются в виду. При чтении записи сначала находят общую прямую, затем — грани, содержащие указанные точки. Если точки расположены на разных гранях, становится ясно, между какими частями плоскостей рассматривают угол.

Сравнивать двугранные углы удобно по их линейным углам: достаточно построить для каждого перпендикулярное ребру сечение и сравнить обычные плоские углы. Если линейный угол равен 90°, двугранный угол прямой; если он меньше 90°, угол острый, если больше — тупой. Такой способ работает потому, что линейный угол сохраняет меру раскрытия граней. Например, углы с линейными мерами 40° и 70° сравниваются так же, как соответствующие плоские углы.

Элементы двугранного угла и его измерение

Читайте таблицу как последовательность: грани образуют угол, их общая граница становится ребром, а перпендикулярное сечение создаёт линейный угол. Именно по последнему находят величину двугранного угла. Если нужно сравнить два таких угла, сравнивают градусные меры их линейных углов.

Разбор задач

Задача 1

На чертеже изображены две полуплоскости с общей граничной прямой. Нужно назвать грани и ребро двугранного угла. Для этого важно различить части фигуры по их геометрическим признакам, а не по тому, как линии нарисованы на плоскости листа. Сам рисунок может быть условным, но определение остаётся тем же.

1. Находим две изображённые полуплоскости: именно они образуют двугранный угол.
2. Называем их гранями, потому что грани двугранного угла — это образующие его полуплоскости.
3. Ищем их общую граничную прямую и называем её ребром.

Ответ: грани — данные полуплоскости, ребро — их общая граничная прямая.

Задача 2

Через точку на ребре двугранного угла проведена плоскость, перпендикулярная ребру. Угол между полученными лучами равен 65°. Требуется найти величину двугранного угла. Ключ к решению — понять, что плоскость проведена именно перпендикулярно ребру, значит, полученный угол является линейным.

1. Отмечаем, что сечение проходит через ребро под прямым углом к нему.
2. Пересечение с каждой гранью даёт луч, а угол между этими лучами — линейный угол двугранного угла.
3. Используем равенство величин: мера двугранного угла совпадает с мерой линейного угла.

Ответ: 65°.

Задача 3

Два сечения одного двугранного угла плоскостями, перпендикулярными его ребру, дали углы 48° и x°. Нужно найти x и объяснить независимость результата от положения сечения. Хотя сечения проходят через разные точки ребра, оба полученных угла измеряют одно и то же раскрытие граней. Поэтому здесь не требуется искать расстояние между плоскостями или координаты точек.

1. Оба сечения перпендикулярны одному и тому же ребру, поэтому каждый полученный угол является линейным.
2. Все линейные углы одного двугранного угла равны.
3. Приравниваем их величины: x = 48°.

Ответ: x = 48°. Результат не зависит от положения сечения, потому что перенос перпендикулярной плоскости вдоль ребра не меняет раскрытие граней.

Типичные ошибки

Ошибка — называть двугранным углом только пару плоскостей. Так теряется информация о том, какие полуплоскости выбраны: одни и те же плоскости могут задавать разные раскрытия. Эту путаницу допускают, потому что на чертеже часто видны целые плоскости. Проверь себя: можешь ли ты указать обе конкретные грани и их общую границу?

Иногда ребром считают линию пересечения плоскости сечения с одной из граней. Но это линия, появившаяся при построении сечения, а ребро существует как общая граница двух исходных граней. Ошибка возникает из-за того, что обе прямые могут быть нарисованы внутри схемы. Проверка простая: ребро должно принадлежать сразу обеим граням.

Нельзя строить линейный угол сечением, плоскость которого не перпендикулярна ребру. В таком сечении угол между линиями пересечения не обязан измерять двугранный угол, поскольку срез сделан наклонно. Такую ошибку допускают, если считают достаточным любое пересечение граней плоскостью. Проверь построение: угол между секущей плоскостью и ребром должен быть прямым.

Не следует считать, что величина двугранного угла меняется при переносе сечения вдоль ребра. В каждом перпендикулярном сечении получается линейный угол того же двугранного угла, а все такие углы равны. Ошибка появляется из-за изменения положения чертежа или длины видимых лучей. Чтобы проверить себя, сравнивай градусные меры линейных углов, а не размеры рисунков.

Связь с другими темами

Для изучения двугранного угла нужны понятия полуплоскости, прямой и плоскости, а также умение понимать пересечение плоскостей. При построении линейного угла используется перпендикулярность прямой и плоскости, а его меру находят по правилам измерения плоских углов. Значит, пространственную фигуру удаётся изучить, сведя её к знакомой плоской геометрии. Позже двугранные углы пригодятся при изучении перпендикулярности плоскостей, многогранников и углов между их гранями.

Что запомнить

• Двугранный угол образован двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.
• Общая граничная прямая граней называется ребром двугранного угла.
• Линейный угол получают сечением плоскостью, перпендикулярной ребру.
• Величина двугранного угла равна величине его линейного угла.
• Линейные углы одного двугранного угла равны.
• Величину двугранного угла выражают в градусах.