§ 5. Многогранники

Определения и обозначения

Многогранная поверхность — замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, которые соединяются сторонами. Это оболочка тела: по ней можно понять, из каких частей сложена его внешняя граница. Определение нужно, чтобы отличать поверхность от пространства, которое она ограничивает.

Многогранник — часть пространства, ограниченная многогранной поверхностью. Многоугольники этой поверхности называются гранями, их общие стороны — рёбрами, а концы рёбер — вершинами. Эти названия позволяют описывать тело и считать его элементы.

Грань — многоугольник на поверхности многогранника, ребро — общая сторона двух граней, вершина — конец ребра. Например, если две грани соприкасаются по одной стороне, эта сторона считается одним ребром всего тела. Различение элементов необходимо, чтобы не путать часть поверхности с линией её соединения или точкой.

Выпуклый многогранник — многогранник, целиком лежащий по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Плоскость здесь проверяет положение всего тела, а не только отдельной грани. Это определение важно, потому что формула Эйлера в данном разборе применяется к выпуклым многогранникам.

Как это устроено

Многоугольники образуют поверхность не произвольно: соседние грани соприкасаются по целой стороне, а не только по её части. Поэтому их общая сторона становится ребром, а её концы — вершинами многогранника. Если стороны не соединены в замкнутую оболочку, они не ограничивают целое тело. У замкнутой поверхности каждая сторона включена в соединение граней, благодаря чему можно говорить о внешней границе многогранника.

Чтобы выделить сам многогранник, нужно мысленно взять не только оболочку, но и часть пространства внутри неё. На оболочке лежат грани, а линии, по которым грани встречаются, служат рёбрами. В точках соединения рёбер находятся вершины. Такое различение полезно при подсчёте: плоская грань может содержать несколько рёбер, но ни одно из них не становится отдельной гранью.

Выпуклость проверяют относительно плоскостей граней, потому что именно грани образуют границу тела. Для каждой грани мысленно продолжите её плоскость и выясните, остаётся ли весь многогранник с одной стороны. Если это выполняется для всех граней, тело выпуклое; если хотя бы одна плоскость разделяет тело на части по разные стороны, оно невыпуклое. Выпуклость каждой отдельной грани сама по себе не гарантирует выпуклость всего многогранника: проверять нужно тело целиком.

На плоском изображении часть рёбер может быть закрыта ближними гранями, а некоторые вершины могут быть скрыты. Поэтому подсчёт только видимых линий часто даёт неверный результат. Сначала обозначьте все вершины, затем перечислите соединяющие их рёбра и отдельно запишите грани; скрытые элементы также нужно восстановить по строению тела. В конце просмотрите каждую грань и убедитесь, что её стороны внесены в список рёбер, но совпадающие стороны разных граней не посчитаны дважды.

Для выпуклого многогранника число вершин V, рёбер E и граней F связано равенством V − E + F = 2. Это формула Эйлера: она связывает три способа описать строение одной и той же поверхности. Если известны любые два числа, третье можно найти преобразованием равенства. Формула одновременно служит проверкой подсчёта, но применять её следует только после того, как установлено, что многогранник выпуклый.

Элементы выпуклого многогранника и соотношение Эйлера

Сначала определите, какие элементы считаются, и обозначьте их числа буквами V, E и F. Затем проверьте, не пропущены ли скрытые элементы и не посчитано ли общее ребро повторно. Формулу Эйлера используйте после подсчёта как способ найти неизвестное или проверить результат.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображён многогранник. Укажите его грани, рёбра и вершины и подсчитайте элементы. Конкретного изображения в условии нет, поэтому численные значения определить нельзя; важна последовательность работы. Она подходит и для рисунка, на котором часть элементов скрыта.

1. Обозначьте каждую вершину отдельной буквой, включая вершины, закрытые на рисунке гранями. Проверьте, что каждой точке соединения рёбер соответствует ровно одно обозначение.
2. Запишите пары вершин, соединённые рёбрами. Каждую пару внесите в список один раз, даже если это ребро видно как сторона двух граней.
3. Перечислите грани как многоугольники и укажите их вершины по порядку. Сверьте стороны каждой грани со списком рёбер, чтобы обнаружить пропуски.
4. Посчитайте записи в трёх списках: получатся V, E и F. Если многогранник выпуклый, проверьте результат равенством V − E + F = 2.

Ответ. Грани, рёбра и вершины следует записать по обозначениям конкретного рисунка; без рисунка численный ответ не задаётся. Перечень элементов и проверка формулой помогают подтвердить, что ни один скрытый элемент не пропущен.

Задача 2. У выпуклого многогранника 8 вершин и 12 рёбер. Найдите число граней. Обозначим число граней через F и воспользуемся формулой Эйлера, так как в условии многогранник назван выпуклым.

1. Запишем связь элементов: V − E + F = 2.
2. Подставим V = 8 и E = 12: 8 − 12 + F = 2.
3. Вычислим разность: −4 + F = 2, поэтому F = 6.

Ответ. У многогранника 6 граней. Проверка: 8 − 12 + 6 = 2, значит, найденное число удовлетворяет формуле Эйлера.

Задача 3. У выпуклого многогранника 7 граней, причём все грани — треугольники. Найдите число вершин и рёбер. Сначала найдём рёбра по сторонам граней, а затем применим формулу Эйлера к числам граней и рёбер.

1. У семи треугольных граней всего 7 · 3 = 21 сторона, если считать стороны по отдельным граням.
2. Каждое ребро является стороной двух граней, поэтому при таком подсчёте каждое ребро учтено дважды. Следовательно, 2E = 21, откуда E = 21/2.
3. Число рёбер должно быть целым, но 21/2 не является целым числом. Значит, условия задачи несовместимы и такого многогранника не существует; найти целое число вершин для него нельзя.

Ответ. Такого выпуклого многогранника не существует. Формальная подстановка в формулу Эйлера дала бы V = 2 + E − F = 2 + 21/2 − 7 = 9/2, что также не может быть числом вершин.

Типичные ошибки

Считать общую сторону соседних граней дважды. Ошибка возникает, когда ученик считает стороны каждой грани и принимает полученную сумму за число рёбер. Но общее ребро входит в две грани, поэтому в таком подсчёте оно встречается два раза. Проверьте: число рёбер тела — это число различных общих сторон, а при суммировании сторон граней действует соотношение сумма сторон = 2E.

Путать грань с её внутренностью или с плоскостью, в которой она лежит. Такое смешение появляется потому, что грань плоская и её удобно представлять как часть плоскости. Однако грань — конкретный многоугольник на поверхности, а плоскость продолжается за его пределы. Чтобы проверить себя, спросите, описываете ли вы многоугольник границы или всю плоскость.

Называть многогранник выпуклым только потому, что его грани выпуклые многоугольники. Выпуклость граней характеризует отдельные плоские фигуры, а выпуклость многогранника — положение всего тела. Проверьте каждую грань и её плоскость: тело должно целиком находиться по одну сторону от каждой такой плоскости.

Применять формулу Эйлера к любому телу без проверки условий. Это делают, запоминая само равенство и забывая, для каких объектов оно здесь сформулировано. В данном разборе V − E + F = 2 применяется к выпуклым многогранникам. Перед подстановкой установите выпуклость тела и проверьте, что считаете именно его вершины, рёбра и грани.

Связь с другими темами

Для изучения многогранников нужно знать многоугольники, их стороны и вершины, а также иметь представление о плоскости и пространственном теле. Эти знания помогают распознавать грани и понимать, как они соединяются в пространстве. Понятия грани, ребра и вершины затем используются при изучении призм, пирамид и других многогранников. Формула Эйлера пригодится в задачах на подсчёт элементов и проверку их количества.

Что запомнить

• Поверхность многогранника составлена из многоугольных граней.
• Общая сторона двух граней называется ребром.
• Концы рёбер являются вершинами многогранника.
• Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
• У выпуклого многогранника число вершин минус число рёбер плюс число граней равно двум.