"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Многогранник — пространственное тело, поверхность которого составлена из многоугольников. Его изучение помогает описывать форму тел, считать их грани, рёбра и вершины, а также находить связи между этими элементами. Для выпуклых многогранников действует формула Эйлера: В − Р + Г = 2. Понимание этого равенства пригодится при изучении призм, пирамид, сечений и задач на площади поверхности и объёмы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многогранник — тело, ограниченное конечным числом многоугольников. Эти многоугольники образуют его поверхность: соседние многоугольники соединяются сторонами, а поверхность получается замкнутой. Определение помогает отличить многогранное тело от тел с кривой поверхностью.
Грань — многоугольник, ограничивающий многогранник; ребро — общая сторона двух граней; вершина — конец рёбер. Грань показывает плоскую часть поверхности, ребро — место соединения соседних граней, а вершина — точку, где встречаются рёбра. Эти понятия нужны, чтобы описывать форму тела и подсчитывать его элементы.
Выпуклый многогранник — многогранник, целиком лежащий по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Иначе говоря, плоскость грани не разрезает тело так, чтобы части тела оказались по разные стороны от неё. Это свойство позволяет применять к многограннику формулу Эйлера.
Диагональ многогранника — отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани. Поэтому диагональ не является стороной грани и не лежит целиком в ней. Определение помогает отличать пространственные диагонали от диагоналей отдельных многоугольников поверхности.
Чтобы представить поверхность многогранника, мысленно соберите многоугольники так, чтобы их стороны совпадали попарно и не оставалось открытых краёв. Тогда грани образуют замкнутую оболочку, ограничивающую тело. Если бы какая-то сторона принадлежала только одной грани, поверхность имела бы край и не замыкала тело. Если бы у ребра сходились более двух граней, поверхность в этой точке не была бы обычной оболочкой многогранника.
Выпуклость определяют не по тому, насколько «ровно» выглядит тело на рисунке, а по положению относительно плоскостей граней. Представьте плоскость, продолженную из одной грани: у выпуклого многогранника всё тело остаётся в одном из двух полупространств, то есть по одну сторону этой плоскости. Если для хотя бы одной грани тело оказывается по обе стороны её плоскости, многогранник невыпуклый. Такой способ проверки важен, потому что изображение может скрывать выступы и углубления.
Считать элементы удобнее по одному виду за раз: грани перечисляют как многоугольники поверхности, вершины отмечают как точки их соединения, а рёбра — как отрезки между вершинами. При подсчёте рёбер не следует просто складывать стороны всех граней: так каждое ребро встретится дважды, по одному разу на каждой из двух соседних граней. Поэтому сумма числа сторон граней равна 2Р. Такой двойной подсчёт позволяет связать число рёбер с устройством граней.
Для выпуклого многогранника действует формула Эйлера: В − Р + Г = 2, где В — число вершин, Р — число рёбер, Г — число граней. Она показывает, что эти три числа не выбираются независимо: зная два из них, можно найти третье. Например, из равенства следует Г = 2 − В + Р. Формулу применяют именно к выпуклым многогранникам, поэтому перед вычислением проверяют условие о положении тела относительно плоскостей граней.
Чтобы решить, является ли отрезок диагональю многогранника, сначала проверьте, что его концы — вершины тела. Затем выясните, входят ли эти вершины в одну грань: если входят, отрезок может быть диагональю этой грани, но не диагональю многогранника по данному определению. Если же общей грани у концов нет, соединяющий их отрезок — диагональ многогранника. Ребро при этом соединяет соседние вершины и является стороной граней.
| Элемент | Обозначение | Как распознать | Связь с другими элементами |
|---|---|---|---|
| Грань | Г | Многоугольник на поверхности | Стороны грани являются рёбрами |
| Ребро | Р | Общая сторона двух граней | Соединяет две вершины |
| Вершина | В | Конец рёбер, точка соединения граней | В вершине сходятся рёбра |
| Диагональ многогранника | — | Отрезок между вершинами, не лежащими на одной грани | Не является ребром или диагональю одной грани |
| Подсчёт элементов выпуклого многогранника | В, Р, Г | Перечислить вершины, рёбра и грани | В − Р + Г = 2; сумма сторон граней равна 2Р |
Пользуйтесь таблицей, чтобы сначала определить, какой именно элемент требуется найти, а затем выбрать подходящую связь. Для подсчёта сторон граней учитывайте, что каждое ребро записывается дважды. Формулу Эйлера применяйте, если многогранник выпуклый.
Задача. На рисунке изображён многогранник. Укажите его грани, рёбра и вершины.
Решение.
Сначала найдите все отдельные многоугольники поверхности и перечислите их: каждый такой многоугольник — грань. Чтобы не пропустить грань, обходите поверхность последовательно и отмечайте уже названные части. Видимые и скрытые грани учитываются одинаково.
Затем перечислите стороны этих многоугольников, то есть отрезки между соседними вершинами. Совпадающие стороны соседних граней записывайте как одно ребро, а не как два. Наконец, назовите все различные концы рёбер: это вершины многогранника.
Ответ. Грани — все многоугольники поверхности; рёбра — их различные общие стороны; вершины — различные концы рёбер. Для конкретного списка нужны данные изображения.
Задача. У выпуклого многогранника 8 вершин и 12 рёбер. Найдите число граней.
Решение.
Поскольку многогранник выпуклый, можно использовать формулу Эйлера В − Р + Г = 2. Подставляем известные числа: 8 − 12 + Г = 2. Неизвестным остаётся только число граней.
Складываем известные слагаемые: −4 + Г = 2. Прибавляем 4 к обеим частям равенства и получаем Г = 6. Проверка: 8 − 12 + 6 = 2.
Ответ. 6 граней.
Задача. У выпуклого многогранника все грани — треугольники, а вершин 6. Найдите число граней и рёбер.
Решение.
Обозначим число граней через Г, а число рёбер через Р. Формула Эйлера даёт 6 − Р + Г = 2, откуда Р = Г + 4. Одного этого равенства недостаточно, поэтому используем условие о треугольных гранях.
У каждой грани три стороны, значит, всего сторон граней 3Г. Каждое ребро входит в две грани, поэтому то же число равно 2Р; получаем 3Г = 2Р. Подставляем Р = Г + 4: 3Г = 2Г + 8, откуда Г = 8 и Р = 12.
Ответ. 8 граней и 12 рёбер.
Диагональ многогранника иногда принимают за диагональ грани, потому что обе соединяют вершины. Проверьте, принадлежат ли концы одной грани: если да, это не диагональ многогранника по его определению. Если общей грани нет, отрезок может быть диагональю многогранника.
При подсчёте рёбер можно сложить стороны всех граней и принять сумму за число рёбер. Ошибка возникает потому, что ребро видно со стороны каждой из двух смежных граней. Чтобы проверить результат, разделите сумму сторон граней на 2; она должна равняться Р.
Формулу Эйлера порой применяют к любому телу, не проверив его выпуклость. Формула В − Р + Г = 2 в этой теме относится к выпуклым многогранникам. Перед подстановкой чисел убедитесь, что тело лежит по одну сторону от плоскости каждой грани.
Число сторон граней также путают с числом рёбер, поскольку стороны и рёбра — отрезки. Но при суммировании сторон каждое ребро учитывается дважды, а при подсчёте самого тела — один раз. Сравните сумму сторон с 2Р: если они не равны, вероятно, ребро пропущено или посчитано лишний раз.
Для работы с многогранниками нужны знания о многоугольниках: их сторонах, вершинах и плоской форме. Представление о плоскости и пространственных телах помогает понять, как плоские грани образуют объёмное тело и что значит находиться по одну сторону от плоскости. Поэтому полезно мысленно переводить плоские свойства многоугольников на поверхность тела.
Формула Эйлера и подсчёт элементов применяются при изучении призм, пирамид и других пространственных тел. Грани, рёбра и вершины нужны также при построении сечений. Те же понятия помогают разбираться в задачах на площади поверхности и объёмы, когда важно представить устройство тела.
Чем многогранник отличается от произвольного пространственного тела?
У многогранника поверхность состоит из конечного числа плоских многоугольников. У произвольного пространственного тела поверхность может быть кривой, например у шара.
Как определить, является ли многогранник выпуклым?
Проверьте положение всего тела относительно плоскости каждой грани. Если для каждой такой плоскости тело целиком находится по одну сторону от неё, многогранник выпуклый.
Почему каждое ребро принадлежит двум граням?
Ребро — это общая сторона двух соседних многоугольников поверхности. У замкнутой поверхности по обе стороны от ребра сходятся эти две грани.
Когда можно использовать формулу Эйлера?
Формулу В − Р + Г = 2 применяют к выпуклому многограннику. В ней В — число вершин, Р — число рёбер, Г — число граней.
Чем диагональ многогранника отличается от диагонали его грани?
Диагональ многогранника соединяет вершины, которые не принадлежат одной грани. Диагональ грани лежит внутри плоского многоугольника и соединяет две его несоседние вершины.
Многогранники
