"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Тела вращения получают движением плоской фигуры вокруг прямой — оси вращения. К ним относятся цилиндр, конус и шар; их форма определяется исходной фигурой и положением оси. В параграфе важно научиться различать элементы тел, строить осевые сечения, связывать радиус, высоту и образующую, а также находить площади боковой и полной поверхности с помощью развёрток и геометрических формул.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тело вращения — тело, которое получается при вращении плоской фигуры вокруг прямой. Эта прямая называется осью вращения и задаёт положение тела в пространстве, а также влияет на его форму. Такое определение позволяет получать объёмные фигуры из знакомых плоских фигур.
Цилиндр — тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Два круга, возникающие из противоположных сторон, называют основаниями; их радиус обозначают r, а расстояние между основаниями — высоту h. Эти величины нужны для описания цилиндра и вычисления его площадей.
Конус — тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Вершина конуса — точка, в которой сходятся образующие, круг напротив неё — основание, перпендикуляр к основанию — высота h, а наклонный отрезок от вершины до окружности основания — образующая l. Такое обозначение помогает связать геометрию конуса с теоремой Пифагора.
Шар состоит из всех точек, расстояние от которых до центра не превосходит радиуса R. Сфера — только граница шара, то есть множество точек, удалённых от центра ровно на R. Различие необходимо при решении задач на объём шара и площадь его поверхности.
Представим прямоугольник, вращающийся вокруг одной из сторон. Две его стороны, перпендикулярные оси, движутся по окружностям и образуют два равных круга. Две другие стороны остаются на постоянном расстоянии от оси и создают боковую поверхность; поэтому её образующие параллельны оси цилиндра. Расстояние между кругами сохраняется и становится высотой h.
Если вращать прямоугольный треугольник вокруг катета, выбранный катет превращается в ось конуса. Другой катет вращается и образует окружность основания, а гипотенуза описывает боковую поверхность. Все точки гипотенузы движутся по окружностям разного радиуса, поэтому поверхность сужается к одной вершине. В осевом сечении радиус основания, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник, откуда l² = r² + h².
Полукруг при вращении вокруг диаметра заметает все точки внутри некоторого шара. Каждая точка полукруга находится от центра на расстоянии не больше радиуса, а при вращении она описывает окружность с тем же расстоянием до центра. Поэтому получается шар. Если вращать только дугу полукруга, внутренние точки не образуются, и возникает сфера как граница шара.
Осевое сечение получают плоскостью, проходящей через ось вращения. У цилиндра эта плоскость пересекает основания по диаметрам, поэтому сечение является прямоугольником со сторонами 2r и h. У конуса в сечение попадают две равные образующие и диаметр основания, поэтому получается равнобедренный треугольник. У шара любое сечение через центр имеет форму круга радиуса R.
Развёртка помогает заменить криволинейную поверхность плоской фигурой. Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник со сторонами h и 2πr, поэтому Sбок = 2πrh. Боковая поверхность конуса разворачивается в сектор круга радиуса l, а его площадь равна πrl. Добавляя основания, получаем Sполн цилиндра = 2πrh + 2πr² и Sполн конуса = πrl + πr²; площадь сферы вычисляют по формуле S = 4πR².
| Характеристика | Цилиндр | Конус | Шар и сфера |
|---|---|---|---|
| Какое плоское сечение вращают | Прямоугольник | Прямоугольный треугольник | Полукруг для шара, его дуга для сферы |
| Ось вращения | Одна из сторон прямоугольника | Один из катетов | Диаметр полукруга |
| Основные элементы | Два основания, радиус r, высота h | Вершина, основание, радиус r, высота h, образующая l | Центр и радиус R |
| Форма осевого сечения | Прямоугольник | Равнобедренный треугольник | Круг |
| Площадь боковой поверхности | Sбок = 2πrh | Sбок = πrl | Не выделяется |
| Площадь полной поверхности | Sполн = 2πrh + 2πr² | Sполн = πrl + πr² | S = 4πR² |
В таблице сначала находите вид тела и его элементы, а затем выбираете нужную формулу. Если в условии дана высота конуса, но требуется площадь боковой поверхности, сначала вычислите образующую. Следите, чтобы все длины были выражены в одних единицах.
В прямом круговом цилиндре r = 3 см, h = 4 см. Найдём площади боковой и полной поверхности.
Ответ: Sбок = 24π см², Sполн = 42π см².
Для конуса r = 5 см и h = 12 см. Требуется найти образующую и полную площадь.
Ответ: l = 13 см, Sполн = 90π см².
Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной 10 см. Найдём r, h, l и полную площадь.
Ответ: r = 5 см, h = 5√3 см, l = 10 см, Sполн = 75π см².
Ошибка: называть шаром только его поверхность. Так поступают из-за бытового употребления слова «шар», но в геометрии поверхность называется сферой. Проверьте себя: если включены внутренние точки, это шар; если только граница — сфера.
Ошибка: путать высоту конуса с образующей. Высота перпендикулярна плоскости основания, а образующая лежит на боковой поверхности и обычно наклонена. В осевом сечении высота должна быть катетом, а образующая — гипотенузой.
Ошибка: в полной площади цилиндра учитывать одно основание. У цилиндра два одинаковых основания, поэтому к боковой площади прибавляют 2πr². Полезно мысленно проверить развёртку: к прямоугольнику прикреплены два круга.
Ошибка: считать осевым сечением форму основания. Плоскость через ось пересекает цилиндр прямоугольником, а конус — равнобедренным треугольником. Спросите себя, проходит ли секущая плоскость через центр и ось тела.
Для изучения тел вращения нужны свойства прямоугольника, треугольника и круга, теорема Пифагора, а также понимание оси и вращения. Эти знания позволяют переходить от плоского сечения к пространственному телу и находить его элементы.
Осевые сечения и формулы поверхностей служат основой для дальнейшего изучения объёмов цилиндра, конуса и шара. Они также применяются в задачах на комбинации тел, вписанные и описанные фигуры и другие стереометрические конструкции.
Чем шар отличается от сферы?
Шар включает все точки внутри тела и на его границе, расстояние которых от центра не больше радиуса. Сфера состоит только из точек, удалённых от центра ровно на радиус.
Почему сечение конуса через ось является равнобедренным треугольником?
Плоскость через ось проходит через вершину конуса и два диаметрально противоположных радиуса основания. Две образующие, попавшие в сечение, равны, поэтому полученный треугольник равнобедренный.
Как связаны радиус, высота и образующая конуса?
В осевом сечении они образуют прямоугольный треугольник: радиус — один катет, высота — другой, образующая — гипотенуза. Поэтому l² = r² + h², где l — образующая.
Почему у цилиндра два основания, а у конуса одно?
При вращении прямоугольника вокруг стороны, параллельной двум противоположным сторонам, эти стороны образуют два круга. У прямоугольного треугольника при вращении один катет образует круг, а второй становится осью и сходится с вершиной, поэтому основание одно.
Как получить развёртку боковой поверхности цилиндра?
Боковую поверхность цилиндра мысленно разрезают по образующей и распрямляют. Получается прямоугольник: одна сторона равна высоте цилиндра, а другая — длине окружности основания 2πr.
Глава V
