§ 21. Многогранник и его элементы

Определения и обозначения

Многогранная поверхность — замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, соединённых сторонами. Соседние многоугольники имеют общую сторону, а соединение должно быть согласованным: у каждой стороны оболочки сходятся две грани. Это условие не позволяет поверхности обрываться по краю и помогает отличить её от произвольного набора многоугольников.

Многогранник — тело, ограниченное многогранной поверхностью. Поверхность служит его оболочкой, а сам многогранник включает пространство внутри неё. Различие нужно, чтобы не называть телом только его границу: у тела есть и поверхность, и внутренность.

Грани — многоугольники, составляющие поверхность многогранника; рёбра — общие стороны соседних граней; вершины — концы рёбер. Например, сторона квадрата, которая одновременно является стороной соседнего многоугольника, выступает ребром тела. Эти названия описывают разные роли частей и помогают точно считать элементы и задавать их взаимное положение.

Диагональ многогранника — отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональ грани тоже соединяет вершины, но лежит внутри одного из многоугольников поверхности. Чтобы не спутать их, нужно проверить не только концы отрезка, но и то, входят ли эти вершины в одну грань.

Как это устроено

Чтобы многоугольники образовали многогранную поверхность, их соединяют сторонами так, чтобы оболочка замкнулась. Если оставить сторону без соседней грани, возникнет открытый край, а не поверхность, ограничивающая тело. Кроме того, грани должны соединяться так, чтобы в местах стыков не появлялись разрывы. Замкнутую оболочку можно представить как границу области пространства; эта область и есть многогранник.

Каждая сторона грани на замкнутой поверхности служит ребром и принадлежит двум граням: с одной стороны от неё располагается один многоугольник, с другой — соседний. Одна грань не может образовать край тела в одиночку, иначе поверхность была бы незавершённой. В вершине сходятся рёбра, а вместе с ними и грани, поэтому вершина — место соединения нескольких частей оболочки. Такая связь помогает восстановить устройство тела, даже если на чертеже видна только часть его поверхности.

На изображении грань распознают как многоугольную область, ребро — как сторону грани, а вершину — как точку встречи рёбер. При этом рисунок является условным изображением пространственного объекта на плоскости, поэтому некоторые части закрыты ближайшими гранями. Скрытые рёбра обычно проводят пунктиром, чтобы показать их положение, не смешивая с видимыми линиями. При подсчёте нужно мысленно восстановить всё тело, а не считать только сплошные отрезки.

Диагональ грани и диагональ многогранника обе соединяют вершины, но относятся к разным частям фигуры. Если вершины принадлежат одной грани, отрезок между ними является диагональю этого многоугольника и лежит в его плоскости. Если они не принадлежат общей грани, соединяющий их отрезок называют диагональю многогранника. Поэтому проверку удобно начинать с выяснения, лежат ли концы в одной грани.

Многогранник выпуклый, если он целиком лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Это условие означает, что у тела нет вмятин, заходящих за плоскость грани; оно согласуется с обычным представлением о выпуклой фигуре. Например, отрезок между любыми двумя точками выпуклого тела целиком остаётся внутри него. Если хотя бы для одной грани тело располагается по обе стороны её плоскости, многогранник не является выпуклым.

Элементы многогранника и их признаки

Пользуйтесь таблицей, сначала определяя, к какой части тела относится рассматриваемый объект: к поверхности, телу или отрезку между вершинами. Затем проверьте, общая ли это сторона двух граней и лежат ли концы отрезка в одной грани. Такой порядок помогает не путать рёбра с диагоналями и поверхность с телом.

Разбор задач

1. Элементы куба на изображении

Условие. На рисунке куба назовите грани, рёбра и вершины; укажите, какие рёбра не видны. Считаем, что вершины обозначены буквами A, B, C, D на одной грани и A₁, B₁, C₁, D₁ на параллельной ей грани. Такой пример показывает, как прочитать условное изображение, даже если часть куба закрыта.

1. Найдите шесть квадратных областей: две основания и четыре боковые грани.
2. У куба восемь вершин: A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁. Соединяющие соседние вершины отрезки образуют 12 рёбер.
3. Сравните линии на чертеже: сплошные рёбра видны наблюдателю, пунктирные проходят за видимыми гранями. На обычном изображении куба из указанной записи скрытыми могут быть, например, рёбра AD, DD₁ и DC, если точка обзора выбрана со стороны грани ABCB₁; конкретный список зависит от того, как повёрнут куб.

Ответ. У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Скрытыми называют рёбра, условно проведённые пунктиром; их конкретные обозначения определяются видом изображения.

2. Подсчёт элементов призмы

Условие. Основанием призмы служит пятиугольник. Определите число вершин, рёбер и граней. Здесь важно считать не по внешнему виду чертежа, а по устройству призмы: у неё два равных основания и боковые грани, соединяющие соответствующие стороны.

1. В каждом основании по пять вершин, а оснований два: всего 2 · 5 = 10 вершин.
2. В каждом основании по пять рёбер, значит, у двух оснований 10 рёбер. Ещё пять боковых рёбер соединяют соответствующие вершины, всего 10 + 5 = 15 рёбер.
3. Пять боковых граней соответствуют пяти сторонам основания. Вместе с двумя основаниями получаем 5 + 2 = 7 граней.

Ответ. У пятиугольной призмы 10 вершин, 15 рёбер и 7 граней. Для n-угольной призмы тот же подсчёт даёт 2n вершин, 3n рёбер и n + 2 грани.

3. Определение типа отрезка

Условие. Для пары вершин многогранника нужно установить, является ли соединяющий их отрезок ребром, диагональю грани или диагональю многогранника. Предположим, что рассматриваемый отрезок соединяет вершины B и D одной грани ABCD. Проверка идёт по порядку, поскольку у отрезка между вершинами может быть только одна из этих ролей.

1. Сначала проверьте, соединены ли B и D стороной поверхности. Если да, отрезок — ребро; у четырёхугольника ABCD это не так.
2. Затем выясните, принадлежат ли B и D одной грани. Обе вершины лежат в ABCD, поэтому отрезок BD — диагональ этой грани.
3. Если бы вершины не лежали в одной грани и отрезок не был ребром, его следовало бы назвать диагональю многогранника.

Ответ. BD — диагональ грани ABCD. Для другой пары вершин повторите те же проверки: сначала на ребро, затем на принадлежность одной грани.

Типичные ошибки

Многогранником называют только его поверхность, смешивая оболочку и тело. Это происходит потому, что на чертеже обычно видны именно грани, а внутренность не изображают. Проверьте себя вопросом: идёт ли речь о границе или о всей ограниченной области пространства? Оболочка — многогранная поверхность, а вместе с внутренней частью она образует многогранник.

Диагональ грани принимают за диагональ многогранника, не проверив положение её концов. Обе линии могут соединять несоседние вершины, поэтому их легко спутать. Сначала установите, лежат ли концы в одной грани: если да, это диагональ грани. Только отрезок между вершинами без общей грани может быть диагональю многогранника.

При подсчёте элементов учитывают лишь видимые на чертеже линии и пропускают скрытые рёбра или грани. Причина в том, что плоское изображение не показывает тело целиком. Пересчитайте элементы по их устройству и проверьте, не соответствует ли каждому видимому ребру ещё одно, закрытое от взгляда. Пунктир указывает на скрытое ребро, но не означает, что его можно исключить из подсчёта.

Считают, что любой набор многоугольников, соединённых сторонами, образует многогранную поверхность. Но соединение может оставить край открытым или не замкнуть оболочку, поэтому тело не будет ограничено со всех сторон. Проверьте, что поверхность замкнута и стороны стыкуются согласованно, без разрывов. Если есть незакрытый край, перед вами ещё не многогранная поверхность.

Связь с другими темами

Для работы с многогранниками нужны знания о многоугольниках: их вершинах, сторонах и диагоналях, а также представление о плоскости и пространственных фигурах. Понятия граней, рёбер и вершин станут основой при изучении призм, пирамид и других многогранников. Они также пригодятся в задачах на сечения, площади поверхностей и объёмы тел. Умение читать пространственный чертёж помогает не потерять скрытые элементы при решении таких задач.

Что запомнить

• Многогранник ограничен многогранной поверхностью.
• Многоугольники, составляющие поверхность, называются гранями.
• Общие стороны граней — рёбра многогранника.
• Концы рёбер являются вершинами.
• Диагональ многогранника соединяет вершины, не лежащие на одной грани.
• Диагональ грани лежит в плоскости одной грани.
• У выпуклого многогранника тело лежит по одну сторону от плоскости каждой грани.