"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Многогранник — это тело, поверхность которого составлена из конечного числа многоугольников и замкнута со всех сторон. Каждый такой многоугольник называется гранью, его стороны образуют рёбра, а концы рёбер — вершины. Чтобы распознать многогранник, недостаточно увидеть соединённые многоугольники: нужно проверить, что они образуют поверхность без открытых краёв и ограничивают тело. Эти понятия понадобятся при изучении видов многогранников и решении задач о них.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многогранник — это тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Многоугольники соединяются сторонами так, чтобы вместе образовать замкнутую поверхность. Это определение помогает отличить пространственное тело от плоской фигуры или набора отдельных многоугольников.
Грань многогранника — многоугольник, составляющий часть его поверхности. Например, у куба гранями являются шесть квадратов. Понятие грани нужно, чтобы описывать, из каких плоских частей устроена поверхность тела.
Ребро многогранника — сторона грани; оно принадлежит двум граням. В месте общего ребра встречаются соседние многоугольники, поэтому ребро одновременно относится к обеим граням. Это позволяет описывать, как части поверхности соединяются друг с другом.
Вершина многогранника — вершина его граней, в которой сходятся рёбра. Иначе говоря, это точка, где соединяются концы нескольких рёбер. Вершины нужны, чтобы обозначать угловые точки тела и прослеживать связь между его рёбрами и гранями.
Представь несколько многоугольников, которые соединяют сторонами. Когда к сторонам прикрепляются другие многоугольники, плоские части складываются в поверхность пространственного тела. Если поверхность замыкается, она ограничивает область внутри себя: именно эту область вместе с ограничивающей поверхностью рассматривают как тело. Так становится понятно, почему многогранник нельзя свести к одному плоскому многоугольнику.
Замкнутость нужна потому, что поверхность многогранника должна отделять внутреннюю часть тела от окружающего пространства со всех сторон. Если оставить свободный край или отверстие, через него поверхность не будет полностью ограничивать тело. Поэтому открытая оболочка из многоугольников ещё не задаёт многогранник, даже если большинство её частей соединено правильно. Проверка замкнутости позволяет не принять за тело незавершённую поверхность.
Элементы многогранника связаны последовательно: многоугольник задаёт грань, стороны этой грани являются рёбрами, а концы сторон — вершинами. При соединении граней сторона, по которой они соприкасаются, становится общим ребром. В каждой вершине сходятся рёбра, а сами рёбра входят в состав граней. Такая связь помогает описывать строение тела, не путая его плоские части с линиями и точками.
Не всякий набор многоугольников, соединённых сторонами, образует многогранник. Например, если несколько квадратов прикреплены друг к другу, но часть краёв осталась свободной, они не составляют замкнутую поверхность. Важно также, чтобы соединение действительно давало поверхность тела, а не просто плоскую фигуру из многоугольников. При распознавании сначала проверяют, есть ли тело, затем выясняют, образуют ли его грани замкнутую оболочку.
На чертеже изображают объёмное тело на плоскости, поэтому одни его части видны, а другие закрыты ближними гранями. Видимое ребро обычно проводят сплошной линией, а невидимое показывают штриховой; это лишь условность изображения. Невидимые грани также могут быть мысленно представлены за передними гранями, хотя полностью на рисунке их не видно. Чтобы определить элемент, ориентируйся на его роль: многоугольная часть — грань, сторона — ребро, точка встречи рёбер — вершина.
| Элемент | Что представляет собой | Как связан с другими элементами |
|---|---|---|
| Грань | Многоугольник на поверхности | Соседние грани имеют общее ребро |
| Ребро | Сторона грани | Принадлежит двум граням; концы ребра — вершины |
| Вершина | Общая точка сходящихся рёбер | Является вершиной одной или нескольких граней |
Пользуйся таблицей, двигаясь от плоских частей к точкам: грань состоит из сторон, а стороны встречаются в вершинах. Если сомневаешься, является ли линия ребром, проверь, служит ли она стороной грани. Так же можно проверить, действительно ли две соседние грани имеют общее ребро.
Условие. На рисунке изображены куб и плоский многоугольник. Определите, какой из объектов является многогранником, и назовите его грани. Здесь важно сравнить не только очертания объектов, но и то, что они ограничивают. Решение строится по определению многогранника.
Сначала выясним, является ли каждый объект пространственным телом. Куб имеет объём и поверхность, а многоугольник лежит в одной плоскости. Значит, плоский многоугольник сам по себе не может быть многогранником.
Проверим устройство поверхности куба. Она состоит из конечного числа квадратов, соединённых сторонами и образующих замкнутую оболочку. Следовательно, куб удовлетворяет определению многогранника.
Каждый квадрат на поверхности куба является его гранью. У куба шесть таких квадратов, поэтому при ответе перечислять их по положению можно как верхнюю, нижнюю, переднюю, заднюю и две боковые грани. Это названия частей поверхности, а не отдельных кубов.
Ответ: многогранник — куб; его грани — шесть квадратов. Плоский многоугольник многогранником не является.
Условие. У прямоугольного параллелепипеда отметьте одну грань, одно ребро и одну вершину; объясните, как они связаны. Конкретный выбор можно сделать произвольно, поскольку у тела есть несколько одинаково подходящих элементов. Для ясности опишем выбор словами.
Выберем переднюю прямоугольную часть поверхности и назовём её гранью. Она является многоугольником, поэтому подходит под определение грани. Её границы образованы четырьмя сторонами.
Одну из этих сторон отметим как ребро. Она принадлежит выбранной грани и соседней грани, расположенной сбоку или сверху. Тем самым видно, что ребро связывает две грани.
Выберем конец отмеченного ребра, например верхний левый. Это вершина, в которой сходятся рёбра параллелепипеда и встречаются грани. Значит, выбранные элементы связаны так: сторона грани — ребро, конец ребра — вершина.
Ответ: можно отметить переднюю грань, одно из её рёбер и любой конец этого ребра. Ребро принадлежит двум граням, а его конец является вершиной.
Условие. Из нескольких одинаковых многоугольников составили поверхность так, что у одного края остался незамкнутый участок. Нужно определить, можно ли считать получившийся объект многогранником. Решение зависит не от количества многоугольников, а от того, ограничивают ли они тело.
Проверим поверхность на наличие открытых краёв. По условию один участок остался незамкнутым, то есть хотя бы часть границы не соединена с другой гранью. Значит, оболочка не закрыта со всех сторон.
Сопоставим результат с определением. Поверхность многогранника должна быть замкнутой и ограничивать тело, а открытый участок не позволяет считать её такой оболочкой. Поэтому условие определения не выполнено.
Ответ: нет, такую поверхность нельзя считать многогранником. Незамкнутый участок означает, что она не образует закрытую поверхность тела.
Иногда гранью называют весь многогранник. Такая путаница возникает потому, что грань действительно является частью его поверхности, но частью и целым нельзя считать одно и то же. Проверь себя: грань — один плоский многоугольник, а многогранник — пространственное тело, ограниченное всеми его гранями.
Не всякую линию на рисунке можно считать ребром. Например, линия может проходить внутри грани, а штриховая линия часто просто показывает невидимое ребро. Ошибка появляется, когда рисунок воспринимают как набор произвольных линий. Проверь, является ли линия стороной многоугольной грани и разделяет ли она соседние грани.
Незамкнутую совокупность многоугольников иногда принимают за многогранник, потому что она напоминает его поверхность. Но при открытом крае оболочка не ограничивает тело со всех сторон. Чтобы проверить себя, мысленно пройди по всей поверхности: если остаётся отверстие или свободный край, определение не выполнено.
Также ошибочно считать, что любое соединение многоугольников сторонами автоматически создаёт многогранник. Одни части могут быть соединены, а другие края при этом останутся открытыми; расположение многоугольников тоже имеет значение. После проверки соединения выясни, получилась ли именно замкнутая поверхность, ограничивающая тело. Только тогда набор граней образует многогранник.
Чтобы изучать многогранники, нужно знать, что такое многоугольник, и уметь различать его стороны и вершины. Эти знания помогают распознавать грани и видеть, как они соединены в пространстве. Также полезно иметь представление о пространственных геометрических телах, чтобы отличать тело от плоской фигуры.
Понятия грани, ребра и вершины служат основой для дальнейшего изучения видов многогранников. С их помощью описывают строение тел и формулируют условия задач о них. При решении важно правильно определить, какой элемент дан или требуется найти.
Чем многогранник отличается от многоугольника?
Многоугольник — плоская фигура, а многогранник — пространственное тело. Его поверхность состоит из многоугольников, соединённых сторонами и замыкающих тело.
Что именно называют гранью многогранника?
Грань — это один многоугольник, являющийся частью поверхности многогранника. Весь многогранник гранью не называют.
Может ли ребро принадлежать только одной грани?
У многогранника каждое ребро принадлежит двум граням. Если сторона многоугольника остаётся открытой и не соприкасается со второй гранью, поверхность не замкнута.
Как отличить ребро от линии, проведённой внутри грани?
Ребро является стороной грани и разделяет две соседние грани. Линия внутри многоугольника не является его стороной, поэтому ребром многогранника не считается.
Будет ли многогранником поверхность, в которой остался незамкнутый участок?
Нет. Незамкнутый участок означает, что поверхность не ограничивает тело со всех сторон. Такая совокупность многоугольников не является многогранником.
21.1. Определение многогранника.
