21.3. Два подхода к определению многогранника

Определения и обозначения

Многогранник — тело, граница которого состоит из конечного числа многоугольников. Такое определение описывает фигуру через её поверхность: тело ограничено плоскими многоугольными участками, а не, например, кривой поверхностью. Оно позволяет говорить о гранях, рёбрах и вершинах как о частях границы.

Выпуклая оболочка конечного множества точек — наименьшее выпуклое множество, содержащее все эти точки. Выпуклость означает, что вместе с любыми двумя точками множество содержит весь соединяющий их отрезок. Оболочка нужна, чтобы задать многогранник через его вершины и все точки, которые они охватывают.

Полупространство — одна из двух частей пространства, на которые плоскость делит пространство, вместе с самой плоскостью. Его можно задать линейным неравенством, выбрав нужную сторону плоскости. Пересечение таких частей позволяет описать тело через ограничения и его плоские границы.

Грань многогранника — многоугольная часть его поверхности. Грани соседствуют по рёбрам, а рёбра соединяются в вершинах. Поэтому границу тела можно изучать как совокупность этих взаимосвязанных элементов.

Как это устроено

В первом подходе задают конечный набор точек, а многогранником считают их выпуклую оболочку. Она включает все выпуклые комбинации точек — такие суммы, в которых коэффициенты неотрицательны и дают в сумме 1. Это необходимо, чтобы получить целое выпуклое тело, а не только набор точек или произвольные отрезки между ними. Крайние точки оболочки становятся вершинами; точка, выражаемая через остальные, не добавляет новой вершины.

Во втором подходе многогранник задают как пересечение конечного числа полупространств. Каждое неравенство оставляет допустимую сторону некоторой плоскости, а пересечение требует выполнить все ограничения одновременно. Плоскость одного из ограничений может содержать грань, если на ней лежит часть границы полученного тела. Ограничения должны быть согласованы: иначе пересечение может оказаться пустым, неограниченным или не тем телом, которое требовалось задать.

Оба описания приводят к выпуклым многогранникам, потому что выпуклость сохраняется и при построении оболочки, и при пересечении полупространств. В первом случае вершины задают внешнюю форму тела и определяют его грани. Во втором случае плоскости граней и выбранные стороны этих плоскостей отсекают пространство до нужного тела. Поэтому можно перейти от информации о вершинах к ограничениям граней и обратно, хотя вычисления при таком переходе могут быть непростыми.

Способ через точки удобен, когда в условии даны вершины или нужно выяснить, какие из заданных точек действительно крайние. Он подчёркивает, какие элементы образуют оболочку и какие точки внутри неё избыточны. Способ через полупространства полезен, когда известны граничные плоскости, их уравнения или неравенства. Тогда принадлежность точки телу проверяют подстановкой в каждое ограничение.

Условия обоих подходов существенно связаны с выпуклостью. Выпуклая оболочка набора точек по построению не может иметь вмятин, а пересечение полупространств тоже выпукло: отрезок между двумя точками пересечения остаётся в каждом полупространстве. Поэтому произвольную невыпуклую многогранную поверхность нельзя описать этими формулировками как тем же самым телом. Для неё потребовались бы дополнительные способы задания.

Два способа задать выпуклый многогранник

Сначала определите, какие данные известны в задаче: точки или неравенства. Затем выбирайте столбец, который соответствует этим данным, и проверяйте, что получаемое тело ограничено и выпукло. Последняя строка помогает понять, как перейти от одного описания к другому.

Разбор задач

Задача 1. Даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Описать тело, задаваемое их выпуклой оболочкой, и указать его вершины.

1. Поскольку точки не лежат в одной плоскости, они образуют пространственную конфигурацию. Выпуклая оболочка четырёх таких точек является тетраэдром.
2. Проверим, может ли одна из точек лежать внутри оболочки трёх остальных. Для этого пришлось бы выразить её как выпуклую комбинацию остальных, а значит, она лежала бы в плоскости этих трёх точек.
3. Это противоречит условию, что все четыре точки некомпланарны. Следовательно, каждая из них является крайней точкой оболочки и вершиной тетраэдра.

Ответ: выпуклая оболочка задаёт тетраэдр, вершинами которого служат все четыре данные точки.

Задача 2. Даны линейные неравенства, задающие полупространства. Определить тело их пересечения и найти его плоские грани.

1. Для каждого неравенства выделим граничную плоскость: её уравнение получается заменой знака неравенства на равенство. Само неравенство указывает, какую сторону этой плоскости нужно оставить.
2. Найдём множество точек, удовлетворяющих всем неравенствам одновременно. Проверим, что оно непусто и ограничено; если область бесконечно продолжается, она не является ограниченным многогранником.
3. Для каждой граничной плоскости подставим равенство вместо соответствующего неравенства и сохраним остальные ограничения. Если оставшаяся часть двумерна и ограничена, она образует плоскую грань.

Ответ: тело — пересечение заданных полупространств; его грани находятся на тех граничных плоскостях, где пересечение имеет двумерную ограниченную часть. Без самих неравенств перечислить конкретные грани нельзя.

Задача 3. Для заданного выпуклого многогранника описать оба способа задания: перечислить его вершины и записать смысл системы полупространств, ограничивающих его грани.

1. Сначала перечислим крайние точки тела, исключив точки на рёбрах и гранях, если они были добавлены к набору. Эти крайние точки задают выпуклую оболочку, совпадающую с многогранником.
2. Затем для каждой грани укажем содержащую её плоскость. Выберем со стороны тела соответствующее полупространство и запишем условие, что точка должна лежать в нём.
3. Пересечём все выбранные полупространства. Полученное множество совпадает с исходным телом: каждое ограничение удерживает точки с нужной стороны грани, а вместе ограничения отсекают пространство по всей границе.

Ответ: первое описание — выпуклая оболочка списка вершин; второе — пересечение полупространств, ограничивающих все грани. Конкретные координаты и неравенства можно записать, когда они даны в условии.

Типичные ошибки

• Считать любой многогранник выпуклым. Это неверно: у многогранника могут быть вмятины. Ошибку допускают, перенося свойства выпуклой оболочки на все тела; проверяйте, содержится ли отрезок между любыми двумя точками тела целиком в нём.
• Путать выпуклую оболочку с произвольным соединением точек. Простого соединения отрезками недостаточно: оболочка содержит все выпуклые комбинации точек. Проверяйте, что построено именно целое выпуклое тело, а не только его отдельные части.
• Считать каждую исходную точку вершиной. Точка может лежать внутри оболочки или на её грани и не быть крайней. Проверка: выясните, нельзя ли представить её выпуклой комбинацией остальных точек.
• Забывать ограничения или выбирать не ту сторону плоскости. Тогда пересечение может стать неограниченным либо измениться. Подставьте пробную точку, которая должна принадлежать телу, и проверьте каждое неравенство; затем убедитесь, что учтены все грани.

Связь с другими темами

Для работы с обоими подходами нужны понятия выпуклого множества, плоскости, полупространства и выпуклой комбинации точек. Тема опирается на изучение граней, рёбер и вершин и связывает геометрический вид многогранника со способом его задания. Эти идеи пригодятся при построении выпуклых многогранников и решении задач о сечениях и взаимном расположении плоскостей.

Что запомнить

• Выпуклый многогранник можно описать через конечный набор точек.
• В подходе через точки тело понимают как их выпуклую оболочку.
• Выпуклый многогранник можно описать и как пересечение полупространств.
• В подходе через полупространства границы задаются плоскостями граней.
• Два подхода описывают одно и то же тело с разных сторон.
• Эти способы нельзя без оговорок переносить на невыпуклые многогранники.