21.4. Об определениях

Определения и обозначения

Определение — это объяснение значения термина через уже известные понятия и признаки. Оно нужно, чтобы все одинаково понимали, о каком объекте говорится. Без точных определений рассуждения в геометрии были бы неоднозначными.

Определяемое понятие — понятие, значение которого устанавливают в формулировке. Обычно оно стоит в начале определения и называет новый объект или класс объектов. Его роль состоит в том, что именно его смысл требуется раскрыть.

Определяющие понятия — известные понятия и признаки, с помощью которых объясняют новое понятие. Они составляют содержание определения и должны быть понятны до его изучения. Иначе формулировка не поможет разобраться в новом термине.

Родовой признак и видовое отличие помогают построить определение из двух частей. Сначала объект относят к широкому классу, например к параллелограммам, а затем указывают признак, выделяющий нужный вид среди объектов этого класса. Такое строение делает границы понятия точными.

Как это устроено

Просто назвать геометрический объект недостаточно, потому что одно название не сообщает, чем объект отличается от других. Например, слово «треугольник» указывает на фигуру, но для выделения равнобедренного треугольника нужен дополнительный признак. Определение превращает название в точное правило распознавания объекта.

В определении прямоугольника сначала назван род: это параллелограмм. Затем добавлено видовое отличие — все углы фигуры являются прямыми. Значит, среди всех параллелограммов выбираются только те, которые удовлетворяют указанному условию; именно поэтому формулировка задаёт нужный класс фигур.

Определение должно быть ясным, потому что его задача — уменьшить число неизвестных слов, а не заменить одно непонятное выражение другим. Если в формулировке встречается термин, смысл которого ещё не установлен, ученик не сможет проверить условие. Поэтому определения строят из понятий, изученных раньше, и из однозначных признаков.

Нельзя объяснять термин через него самого или через слово с тем же смыслом. Например, формулировка «квадрат — это квадратная фигура» не даёт новых сведений: неизвестное слово просто повторяется. Такой логический круг создаёт видимость объяснения, но оставляет исходный термин непонятым.

Определение и утверждение решают разные задачи. Определение устанавливает, что означает слово, а теорема сообщает свойство уже понятного объекта и требует доказательства. Например, фраза «прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами» вводит понятие, а утверждение о равенстве его диагоналей является теоремой.

Как устроено определение и как его проверять

Таблицу удобно использовать как последовательный план проверки: сначала найдите термин, затем род и отличие, а после этого оцените ясность всей формулировки. Если один из элементов отсутствует, определение может оказаться слишком широким, узким или непонятным. Проверяйте не только слова, но и логическую связь между ними.

Разбор задач

Задача 1

Разберите определение: «Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые». Найдите определяемое понятие, родовое понятие и видовое отличие. Нужно распределить части готовой формулировки по их логическим ролям.

1. Определяемое понятие обычно называет объект, который объясняют. Здесь это слово «прямоугольник».
2. После тире назван более широкий класс: прямоугольник является параллелограммом. Значит, «параллелограмм» — родовое понятие.
3. Оставшаяся часть сообщает, чем нужный вид отличается от других параллелограммов: у него все углы прямые. Это видовое отличие.

Ответ: определяемое понятие — прямоугольник; родовое понятие — параллелограмм; видовое отличие — наличие у всех углов прямого значения.

Задача 2

Составьте определение квадрата через понятие прямоугольника и признак равенства его смежных сторон. Требуется получить формулировку, которая выделяет квадрат среди всех прямоугольников. Поэтому сначала выбираем род, а затем добавляем один отличительный признак.

1. Берём известное родовое понятие «прямоугольник», поскольку каждый квадрат является прямоугольником.
2. Указываем отличие: у квадрата смежные стороны равны. Это условие выделяет нужный вид прямоугольников.
3. Соединяем части в одно предложение и проверяем, что определяемый термин не повторяется в объясняющей части.

Ответ: квадрат — это прямоугольник, у которого смежные стороны равны. Формулировка содержит род и видовое отличие, поэтому задаёт понятие однозначно.

Задача 3

Оцените формулировку «Равнобедренный треугольник — треугольник с равными сторонами» и уточните её. Проблема в том, что выражение «с равными сторонами» не указывает, сколько именно сторон равны. Нужно добавить признак, который однозначно описывает данный класс фигур.

1. Родовое понятие уже указано верно: равнобедренный треугольник относится к треугольникам.
2. Уточняем видовое отличие: две стороны должны быть равны, а третья сторона может иметь другую длину.
3. Записываем определение без неоднозначного множественного числа и проверяем, что оно не включает только равносторонние треугольники или неясный набор фигур.

Ответ: равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Такая формулировка точно задаёт нужный класс и не требует угадывать, о каком количестве сторон идёт речь.

Типичные ошибки

Путают определение с теоремой: определение вводит смысл термина, а теорема утверждает и доказывает свойство. Ошибка возникает, когда любое математическое предложение считают определением. Проверка проста: спросите, объясняет ли фраза значение слова или сообщает результат, который можно доказывать.

Считают любое перечисление признаков полноценным определением. Набор свойств без указания рода и отличия может не показать, к какому классу относится объект и какие именно фигуры выбираются. Проверьте, можно ли в формулировке найти более широкий класс и признак, отсекающий остальные объекты.

Допускают круг в определении, используя определяемый термин для его объяснения. Так происходит, когда знакомое по виду слово принимают за настоящее объяснение. Замените термин на определяющие понятия и убедитесь, что понять формулировку можно без предварительного знания самого термина.

Используют неясные или ещё не определённые понятия. Иногда кажется, что длинная формулировка автоматически становится точной, но новые непонятные слова лишь переносят трудность. Проверьте каждое ключевое понятие: его смысл должен быть известен или объяснён раньше.

Связь с другими темами

Для понимания определений полезно знать смысл основных геометрических понятий, принадлежность объекта к классу и логические связки «если… то…». Определения помогают точнее формулировать теоремы и понимать, какие условия используются в доказательствах. Позже этот навык пригодится при изучении новых фигур, их классификации и проверке того, удовлетворяет ли объект заданным условиям.

Что запомнить

• Определение раскрывает смысл термина.
• В определении выделяют определяемое понятие и понятия, через которые его объясняют.
• Часто определение строится через род и видовое отличие.
• Определяющие понятия должны быть понятны заранее.
• Определение не должно быть круговым.
• Определение и теорема выполняют разные задачи.