21.5. Многогранная поверхность и развертка

Определения и обозначения

Многогранная поверхность — поверхность, составленная из конечного числа многоугольников, соединённых сторонами. Иными словами, это «оболочка», собранная из плоских частей. Такое определение позволяет изучать сложную поверхность по отдельным многоугольникам.

Грань многогранной поверхности — один из многоугольников, образующих эту поверхность. Грани могут быть треугольниками, четырёхугольниками и другими многоугольниками. Зная их форму и размеры, можно описывать всю поверхность и вычислять её площадь.

Развёртка многогранной поверхности — плоская фигура, полученная разрезанием поверхности по некоторым рёбрам и совмещением её граней с плоскостью без деформации. При этом грани не растягиваются и не сжимаются. Развёртка показывает, как пространственную оболочку можно сделать из одного плоского листа.

Ребро разреза — сторона грани, по которой поверхность разрезают, чтобы разложить её на плоскости. После разреза соседние грани перестают быть соединёнными вдоль этого ребра. Выбор таких рёбер определяет вид будущей развёртки.

Как это устроено

Многоугольники образуют единую поверхность, когда некоторые их стороны попарно совпадают. Такая общая сторона принадлежит двум соседним граням и становится ребром многогранной поверхности. Если стороны лишь соприкасаются в точке, они не образуют общего ребра: для ребра требуется общий отрезок.

Разрез выполняют именно по рёбрам, потому что грань должна остаться тем же самым многоугольником. Если провести линию через внутреннюю часть грани, она разделит или изменит её форму, а полученная фигура уже не будет развёрткой исходной поверхности. Разрез по стороне только отделяет соседние грани друг от друга.

Рёбра разреза выбирают так, чтобы после отделения поверхность можно было разложить на плоскости одной связной фигурой. Обычно оставляют достаточно соединений между гранями, но не оставляют замкнутых циклов соединений, которые мешают плоско разложить все части. Поэтому у развёртки грани соединены «цепочкой» или разветвлённой системой, а не несколькими независимыми кусками.

При развёртывании каждая грань движется как жёсткая плоская фигура и поворачивается вокруг оставленного ребра. Поэтому её стороны, углы и площадь сохраняются. Однако точки, находившиеся на разных гранях, после раскладывания могут оказаться на другом расстоянии: изменяется взаимное положение граней, а не геометрия каждой отдельной грани.

Разные наборы рёбер разреза дают разные плоские фигуры, поэтому одна поверхность может иметь несколько развёрток. При обратном складывании некоторые части выбранной развёртки могут накладываться или приводить к несовместимому совпадению граней. Такая фигура не является пригодной развёрткой без перекрытий, даже если все её многоугольники имеют нужные размеры.

Свойства многогранной поверхности и её развёртки

Таблица помогает отделить свойства отдельных граней от их взаимного расположения. При переходе к развёртке меняется положение граней, но не их собственная геометрия. Проверять нужно не только длины сторон, но и то, складывается ли вся фигура в исходную оболочку.

Рёбра разреза удобнее представлять как места, где плоские части могут поворачиваться. Если после складывания часть граней не закрывает нужные стороны или проходит сквозь другую грань, выбранная плоская фигура не подходит.

Разбор задач

1. Построить развёртку куба

Условие: построить развёртку куба и указать рёбра, по которым нужно выполнить разрезы. У куба 6 квадратных граней и 12 рёбер.

1. Выберем пять общих рёбер, которые оставим соединяющими грани: четыре боковые грани расположим в цепочку, а верхнюю грань присоединим ко второй, нижнюю — к третьей.
2. Эти пять соединений образуют связную систему без замкнутого цикла. Поэтому все шесть квадратов можно разложить на плоскости, поворачивая их вокруг оставленных рёбер.
3. Остальные семь рёбер куба разрежем. После этого получится плоская фигура из шести квадратов; при сгибании по пяти оставшимся линиям её грани замкнутся в куб.

Ответ: оставить пять указанных соединений, а разрезать остальные семь рёбер. Это одна из возможных развёрток куба; другие наборы рёбер могут дать другие развёртки.

2. Найти противоположные грани параллелепипеда

Условие: по заданной развёртке прямоугольного параллелепипеда определить, какие грани станут противоположными после складывания. Обозначим четыре грани боковой полосы буквами А, Б, В, Г, а две присоединённые грани — Д и Е.

1. Сначала проследим боковую полосу: при складывании её грани последовательно поворачиваются вокруг общих рёбер и образуют боковую поверхность.
2. В полосе из четырёх прямоугольников первая и третья грани окажутся напротив друг друга, как и вторая с четвёртой. Значит, пары будут А–В и Б–Г.
3. Оставшиеся две грани закрывают верх и низ параллелепипеда. Они имеют одинаковые размеры и при замыкании становятся противоположными: Д–Е.

Ответ: противоположные пары — А и В, Б и Г, Д и Е. Если расположение граней на конкретной развёртке иное, тот же результат получают последовательным мысленным поворотом каждой грани.

3. Проверить развёртку тетраэдра

Условие: проверить, является ли фигура из четырёх треугольников развёрткой тетраэдра, и восстановить соответствие её сторон рёбрам тетраэдра.

1. Убедимся, что фигура связна и состоит ровно из четырёх треугольных граней. Для каждой пары сторон, которые должны соединиться, сравним их длины: склеиваемые рёбра обязаны быть равны.
2. Три соединения, оставленные на плоскости, воспринимаем как линии сгиба. Остальные пары равных граничных сторон сопоставляем так, чтобы после сгибания образовались три недостающих ребра.
3. Мысленно поднимем треугольники вокруг линий сгиба. Если четыре вершины замыкаются в пространственную фигуру, а грани не требуют растяжения и не накладываются несовместимо, получаем тетраэдр.

Ответ: фигура является развёрткой тетраэдра тогда, когда длины сопоставленных сторон совпадают и после складывания четыре треугольника замыкают поверхность. Каждая пара соединённых или сопоставленных сторон задаёт конкретное ребро тетраэдра.

Типичные ошибки

Любая совокупность многоугольников — развёртка. Ошибка возникает, если учитывать только форму граней и забывать о способе их соединения. Проверьте, что фигура связна, её части можно согнуть обратно и поверхность замыкается.

Разрез через грань. Так поступают, когда хотят быстрее «расправить» поверхность, но линия внутри многоугольника меняет грань. Самопроверка проста: каждый разрез должен совпадать с целой стороной исходной грани.

Игнорирование длин соединяемых рёбер. На плоскости стороны могут казаться подходящими, хотя их длины различны. Измерьте или сравните обозначения сторон до складывания: равные рёбра должны совпадать попарно.

Представление об единственной развёртке. Ошибка появляется из-за привычки к одному знакомому рисунку куба. Попробуйте изменить набор оставленных рёбер и каждый вариант проверяйте обратным складыванием.

Связь с другими темами

До изучения темы нужны знания о многоугольниках, их сторонах и углах, а также о гранях, рёбрах и вершинах многогранника. Эти элементы позволяют правильно сопоставлять части поверхности.

Развёртки применяют для вычисления площади поверхности: площадь всех граней можно найти на одной плоскости и сложить. По ним также изготавливают бумажные и картонные модели.

Тема связана с сечениями и пространственным воображением. Развёртка помогает представить взаимное расположение граней и понять, как плоская фигура превращается в пространственное тело.

Что запомнить

• Многогранная поверхность состоит из многоугольных граней.
• Развёртку получают разрезанием поверхности по рёбрам.
• Форма и размеры каждой грани при развёртывании сохраняются.
• Развёртка должна быть связной плоской фигурой.
• У одной поверхности может быть несколько разных развёрток.
• При складывании соответствующие рёбра должны совпадать по длине.