§ 1. Угол между прямыми в пространстве

Определения и обозначения

Углом между пересекающимися прямыми называют меньший из углов, образованных этими прямыми в точке пересечения. Вокруг точки получаются два острых и два тупых угла, либо четыре прямых, если прямые перпендикулярны. Поэтому выбранный угол всегда не больше 90°. Это правило позволяет договориться об одной величине, даже когда при пересечении можно указать разные углы.

Углом между скрещивающимися прямыми называют угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны соответственно данным. Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, поэтому угол нельзя получить непосредственно в точке их встречи. Параллельную замену используют, чтобы сравнить направления исходных прямых и свести задачу к уже известному случаю.

Угол между параллельными прямыми принимают равным 0°. Если мысленно параллельно перенести одну прямую к другой, они совместятся, а их направления совпадут. Такое соглашение охватывает и этот случай: угол между любыми прямыми в пространстве можно рассматривать через пересекающиеся прямые, параллельные исходным. Его величина находится от 0° до 90° включительно.

Как это устроено

Когда прямые пересекаются, они уже образуют углы в одной точке, поэтому дополнительное построение не требуется. Нужно рассмотреть все четыре угла и выбрать меньший из двух различных по величине. Противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°, так что один из двух типов углов обязательно не превосходит 90°. Например, если получились 38° и 142°, берут 38°.

Скрещивающиеся прямые расположены в разных плоскостях, поэтому на рисунке их нельзя «свести» в общую точку без изменения положения. Вместо этого через точку одной прямой проводят новую прямую, параллельную второй исходной. Новая прямая пересекает первую в выбранной точке, и теперь можно определить меньший угол обычным способом. При построении важно сохранить именно параллельность, иначе направление изменится и получится другой угол.

Выбранная точка не влияет на результат, потому что любая проведённая параллельная прямая имеет одно и то же направление. Если через другую точку первой прямой провести ещё одну прямую, параллельную второй исходной, эти две построенные прямые окажутся параллельными между собой. Угол между парой направлений при переносе не меняется: параллельные прямые можно совместить переносом, не поворачивая их. Значит, выбор места построения меняет положение вспомогательной прямой, но не величину угла.

Для любых двух прямых в пространстве можно подобрать пересекающиеся прямые, параллельные им соответственно. Если исходные прямые пересекаются, достаточно взять их самих; если скрещиваются — выполнить параллельную замену; если параллельны — их направления совпадают. Во всех случаях получаем угол между пересекающимися прямыми, а он по определению берётся меньшим. Поэтому диапазон возможных значений всегда от 0° до 90° включительно.

На чертеже сначала определите взаимное расположение нужных прямых, а затем найдите удобную пару пересекающихся прямых, параллельных им. В многограннике такими вспомогательными прямыми часто оказываются рёбра или диагонали одной грани. После этого используйте свойства фигуры, чтобы установить величину угла, а не ориентируйтесь только на видимый наклон отрезков. Перспективный рисунок может искажать расположение углов.

Угол между прямыми в пространстве

Сначала найдите в таблице строку, подходящую к взаимному расположению прямых. Для скрещивающихся прямых ключевой шаг — построить параллельную замену, а для пересекающихся — выбрать меньший угол. Последний столбец помогает проверить, не получился ли в решении недопустимый тупой угол.

Разбор задач

Задача 1. Две прямые пересекаются под углами 38° и 142°. Найдите угол между ними.

1. При пересечении образуются два вида углов: острые равны между собой, и тупые тоже равны.
2. Сравним данные величины: 38° меньше, чем 142°.
3. По определению выбираем меньший угол, а не тупой.

Ответ: 38°.

Задача 2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми AB и CC₁.

1. Прямые AB и CC₁ не пересекаются, поэтому напрямую угол между ними не измерить.
2. В основании куба противоположные рёбра AB и CD параллельны. Заменим AB прямой CD: она пересекает CC₁ в точке C.
3. Ребро CC₁ перпендикулярно плоскости основания, значит, оно перпендикулярно CD. Искомый угол равен 90°.

Ответ: 90°.

Задача 3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между диагональю AC₁ и ребром BD.

1. Прямые AC₁ и BD скрещиваются. Проведём через A прямую, параллельную BD, и найдём её угол с AC₁.
2. Диагонали AC и BD квадрата основания перпендикулярны. Кроме того, ребро CC₁ перпендикулярно плоскости основания, поэтому оно перпендикулярно BD.
3. Направление BD перпендикулярно двум пересекающимся прямым AC и CC₁, лежащим в плоскости ACC₁. Значит, оно перпендикулярно этой плоскости и диагонали AC₁.

Ответ: 90°.

Типичные ошибки

Для пересекающихся прямых иногда выбирают тупой угол, потому что он заметнее на чертеже или назван первым. Но по определению нужен меньший из двух различных углов, а соседние углы в сумме дают 180°. Чтобы проверить себя, сравните выбранную величину с 90°: ответ не должен быть больше. Если один из углов тупой, следует взять второй, острый.

При работе со скрещивающимися прямыми ошибочно пытаться измерить угол непосредственно между изображёнными отрезками. В пространстве такие прямые не пересекаются, а плоский чертёж может искажать направления. Сначала постройте через точку одной прямой параллельную другой, а затем работайте с пересекающейся парой. Проверьте, что вспомогательная прямая действительно параллельна исходной.

Иногда считают, что при выборе другой точки для параллельной прямой изменится угол. Это происходит, если забыть, что важны направления прямых, а не их положение на рисунке. Параллельные прямые можно совместить переносом без поворота, поэтому образованный ими угол сохраняется. Для проверки убедитесь, что в обоих построениях соблюдены те же две пары параллельных направлений.

Ещё одна ошибка — смешивать угол между прямыми с углом между отрезками, которые на плоском рисунке только изображают эти прямые. Видимая форма чертежа сама по себе не доказывает ни пересечение, ни параллельность. Найдите геометрические основания: например, рёбра одной грани куба параллельны соответствующим рёбрам другой. Затем определяйте меньший угол между подходящими прямыми.

Связь с другими темами

Перед изучением угла между прямыми полезно знать, какие пары прямых бывают в пространстве: пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся. Также понадобятся признаки параллельности, иначе нельзя обосновать замену прямой на чертеже. Понимание этой темы готовит к изучению угла между прямой и плоскостью и угла между плоскостями. Те же приёмы помогают решать задачи на многогранники, где нужные направления задают рёбра и диагонали.

Что запомнить

• Угол между прямыми — меньший угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным.
• Угол между пересекающимися прямыми не превосходит 90°.
• Угол между скрещивающимися прямыми находят через параллельную замену одной из прямых.
• Выбор точки для построения параллельной прямой не меняет величину угла.
• Угол между параллельными прямыми равен 0°.
• Угол между прямыми в пространстве лежит от 0° до 90° включительно.