§ 2. Двугранные углы

Определения и обозначения

Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой. Эти полуплоскости могут быть расположены по разные стороны от прямой и образуют пространственное раскрытие. Двугранный угол обозначают по его ребру, например двугранный угол с ребром AB.

Гранями двугранного угла называют две полуплоскости, имеющие общую граничную прямую. Каждая грань лежит в своей плоскости, но обе плоскости пересекаются по одной прямой. Понятие граней помогает понять, какие именно части пространства образуют угол.

Ребро двугранного угла — общая граничная прямая его граней. Оно проходит одновременно в обеих гранях и является их линией пересечения. Ребро задаёт направление, относительно которого рассматривают раскрытие двугранного угла.

Линейный угол двугранного угла — плоский угол, полученный сечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Его стороны лежат в гранях, а вершина находится на ребре. Линейный угол нужен для измерения пространственного двугранного угла обычной градусной мерой.

Как это устроено

Представим прямую AB и две полуплоскости, для которых она является общей границей. Они не просто соприкасаются по отрезку, а имеют общую бесконечную граничную прямую, поэтому ребро двугранного угла — вся прямая AB. Положение фигуры определяется тем, в каких полуплоскостях находятся грани и как они раскрыты относительно ребра.

Чтобы построить линейный угол, сначала выбирают точку O на ребре. Затем в первой грани через O проводят луч, перпендикулярный ребру, и во второй грани через O проводят такой же перпендикуляр. Плоскость, проходящая через эти два луча, перпендикулярна ребру, поэтому угол между лучами и есть линейный угол.

Выбор точки на ребре не меняет величину линейного угла. Действительно, в одной грани перпендикуляры к одной прямой, проведённые через разные точки, параллельны; то же верно для другой грани. Значит, при переносе вершины оба луча меняются параллельно, а угол между их направлениями сохраняется.

Из равенства всех линейных углов следует, что для измерения можно использовать любой из них. Это удобно, потому что в задаче может быть дана конкретная точка на ребре или проще построить сечение в определённом месте. Градусная мера двугранного угла по определению равна градусной мере его линейного угла.

Вид двугранного угла определяют сравнением меры линейного угла с 90°. При мере меньше 90° угол называют острым, при мере 90° — прямым, а при мере больше 90° — тупым. Такое правило переносит знакомую классификацию плоских углов на пространственную фигуру через её линейный угол.

Основные элементы и свойства двугранного угла

Сначала по таблице находят грани и их общую прямую, то есть ребро. Затем строят или используют линейный угол и работают уже с его градусной мерой. Сравнение этой меры с 90° сразу показывает вид двугранного угла.

Разбор задач

Задача 1

Даны две полуплоскости с общей прямой AB. Требуется назвать грани и ребро двугранного угла. Сначала нужно отделить сами полуплоскости от линии, по которой они соприкасаются.

1. Обозначим первую полуплоскость первой гранью, а вторую полуплоскость — второй гранью.
2. Найдём их общую граничную прямую.
3. По условию эта прямая имеет обозначение AB, поэтому она является ребром.

Ответ: грани — данные полуплоскости, ребро — прямая AB. Отрезок AB был бы только частью ребра, а не всем ребром двугранного угла.

Задача 2

Линейный угол двугранного угла равен 65°. Требуется найти градусную меру двугранного угла и определить его вид. Для решения не нужно строить дополнительный угол, потому что линейный угол уже дан.

1. Используем определение: мера двугранного угла равна мере его линейного угла.
2. Получаем 65°.
3. Сравниваем 65° с 90°: это число меньше 90°.

Ответ: градусная мера двугранного угла равна 65°, поэтому он острый. Тот же вывод получится для любого его линейного угла.

Задача 3

Докажем, что линейные углы одного двугранного угла, построенные в разных точках ребра, равны. Пусть вершины двух линейных углов находятся в точках O и O₁ ребра AB. В каждой грани через эти точки проведены перпендикуляры к AB.

1. В первой грани два перпендикуляра к прямой AB параллельны, поскольку лежат в одной плоскости.
2. Во второй грани соответствующие перпендикуляры также параллельны.
3. Угол между первой парой лучей равен углу между второй парой лучей, так как стороны углов имеют соответственно параллельные направления.

Следовательно, линейные углы равны. Поэтому величина двугранного угла не зависит от выбранной точки на ребре.

Типичные ошибки

Ребром называют одну из граней или отрезок внутри грани. Ошибка возникает из-за того, что ребро представляют как «край» видимой части фигуры. Проверьте себя: ребро должно быть общей граничной прямой обеих полуплоскостей.

Любой плоский угол внутри двугранного угла принимают за линейный. Так происходит, когда забывают условие о сечении. Убедитесь, что плоскость выбранного угла перпендикулярна ребру.

Двугранный угол путают с его линейным углом. Первый является пространственной фигурой из двух граней, а второй — плоским сечением для измерения. Если угол можно полностью расположить в одной плоскости, это ещё не означает, что он сам является двугранным.

Считают, что величина зависит от точки на ребре. Причина ошибки — кажущееся изменение положения построенных лучей. Проверьте построение: в каждой грани лучи должны быть перпендикулярны ребру, тогда все линейные углы будут равны.

Связь с другими темами

Для изучения двугранных углов нужны понятия прямой, плоскости, полуплоскости и перпендикулярности прямых и плоскостей. Также важно уметь находить градусную меру плоского угла, поскольку именно она измеряет двугранный угол.

Тема продолжает изучение взаимного положения фигур в пространстве. Позже двугранные углы используются при рассмотрении углов между плоскостями и признаков перпендикулярности плоскостей.

В задачах на призмы, пирамиды и другие многогранники двугранный угол описывает угол между соседними гранями. Линейное сечение позволяет заменить пространственное рассуждение плоским.

Что запомнить

• Двугранный угол образуют две полуплоскости с общей граничной прямой.
• Общая граничная прямая граней называется ребром двугранного угла.
• Линейный угол получают сечением двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру.
• Градусная мера двугранного угла равна градусной мере его линейного угла.
• Все линейные углы одного двугранного угла равны.
• По величине линейного угла двугранный угол бывает острым, прямым или тупым.