7.2. Угол между прямыми в пространстве

Определения и обозначения

Угол между пересекающимися прямыми — меньший из углов, образованных при их пересечении. Его величина не превосходит 90°. Такое определение позволяет однозначно выбрать один угол из двух разных по величине.

Угол между параллельными прямыми равен 0°, потому что их направления совпадают. Сами прямые не пересекаются, но по направлению они одинаковы. Поэтому их можно рассматривать как прямые, угол между которыми отсутствует.

Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным и проведёнными через одну точку. Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости и не имеют общей точки. Построение параллельной прямой заменяет пространственную ситуацию обычным углом.

Угол между прямыми в пространстве — величина от 0° до 90°, определяемая для пересекающихся, параллельных или скрещивающихся прямых. Обозначение может быть буквенным, например α, если конкретное название угла несущественно. Главное — учитывать взаимное расположение прямых и их направления.

Как это устроено

Для пересекающихся прямых выбирают меньший угол, потому что смежные углы в сумме дают 180°. Если один из них больше 90°, второй обязательно меньше 90°. Значит, для описания направления прямых достаточно угла, не превышающего 90°, а вертикальный ему угол имеет ту же величину.

Чтобы определить угол между скрещивающимися прямыми, через точку на одной из них проводят прямую, параллельную другой. Построенная прямая пересекает первую, поэтому появляется обычный плоский угол. Его меньшая величина и принимается за угол между исходными скрещивающимися прямыми.

Полученный угол не зависит от выбранной точки на первой прямой. Если точку переместить, новая построенная прямая останется параллельной второй и сохранит то же направление. А угол между пересекающимися прямыми определяется именно их направлениями, а не расстоянием между ними.

Так определение сводится к трём случаям. Для пересекающихся прямых берут меньший угол, для параллельных сразу записывают 0°, а для скрещивающихся выполняют параллельный перенос одной прямой к другой. Во всех случаях результат лежит в промежутке от 0° до 90°.

На рисунке сначала ищут параллельные рёбра или другие прямые, направление которых совпадает с одной из данных. Затем угол заменяют равным углом при пересечении удобных прямых. Свойства параллельных прямых помогают переносить соответствующие и накрест лежащие углы, не измеряя их линейкой.

Как определить угол между прямыми в пространстве

Сначала определите, как расположены данные прямые: пересекаются, параллельны или скрещиваются. Затем примените соответствующий способ из второго столбца. Последний столбец помогает проверить, не получен ли угол, больший 90°.

Разбор задач

Задача 1. Две прямые пересекаются, и один из образованных углов равен 124°. Найдём угол между прямыми. Дано значение большего угла, поэтому нужно использовать смежный с ним угол.

1. Смежные углы имеют сумму 180°.
2. Вычислим меньший угол: 180° − 124° = 56°.
3. По определению именно меньший угол является углом между прямыми.

Ответ: 56°. Проверка показывает, что результат не превышает 90°, поэтому выбран правильный угол.

Задача 2. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найти угол между AB и B₁C₁. В верхней грани ребро B₁C₁ параллельно ребру BC, поэтому пространственную задачу можно заменить плоской.

1. Заменим B₁C₁ параллельным ему ребром BC.
2. Рассмотрим угол между AB и BC: эти рёбра пересекаются в точке B.
3. Грани куба — квадраты, поэтому AB ⟂ BC и угол ABC равен 90°.

Ответ: 90°. Параллельность B₁C₁ и BC сохраняет направление, значит, угол между AB и B₁C₁ равен углу между AB и BC.

Задача 3. В тетраэдре требуется определить угол между скрещивающимися рёбрами по данным углам и параллельностям на чертеже. Числовое значение зависит от указанного на чертеже угла, поэтому главное — правильно выполнить построение.

1. Выберите точку на одном из рассматриваемых рёбер.
2. Через неё проведите прямую, параллельную второму ребру.
3. Найдите угол между новой и первым ребром, используя заданные углы, параллельность и свойства смежных углов.
4. Если получен угол больше 90°, замените его смежным: искомая величина равна 180° − α.

Ответ: меньший угол между построенными пересекающимися прямыми, найденный по данным чертежа. Такой результат и есть угол между исходными скрещивающимися рёбрами.

Типичные ошибки

Ошибка: называть углом между пересекающимися прямыми больший из двух смежных углов. Так поступают, потому что на рисунке может быть выделен именно он. Проверьте результат: по определению он не должен превышать 90°.

Ошибка: считать, что скрещивающиеся прямые должны пересекаться. Они не имеют общей точки и не лежат в одной плоскости. Нужно параллельно перенести одну прямую к другой, а затем измерять угол у пересекающихся прямых.

Ошибка: проводить параллельную прямую через произвольную точку, не связанную с построением. В результате новые прямые могут не пересекаться, и угол определить нельзя. Точку берут на одной из данных прямых, а параллельность задают относительно другой.

Ошибка: путать угол между прямыми с углом между отрезками на чертеже. Отрезки могут иметь разную длину и выглядеть по-разному из-за перспективы, но угол определяется направлениями бесконечных прямых. Проверьте, какие прямые содержат данные отрезки и какие параллельности указаны.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно знать взаимное расположение прямых в пространстве: пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся. Также пригодятся распознавание параллельных прямых и правила нахождения углов при пересечении прямых. Позже это понятие используется при изучении перпендикулярности прямых и плоскостей, а также в задачах на углы многогранников.

Что запомнить

• Угол между прямыми рассматривают в пределах от 0° до 90°.
• Для пересекающихся прямых берут меньший из образованных углов.
• Угол между параллельными прямыми равен 0°.
• Угол между скрещивающимися прямыми определяют через параллельный перенос одной из них.
• Параллельный перенос не меняет направление прямой.
• Угол между прямыми зависит от их направлений, а не от выбранных точек на них.