"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Потоскуев Е.В., Звавич Л.И.
Угол между лучами в пространстве показывает, насколько различаются их направления. Если лучи начинаются в одной точке, угол образован ими непосредственно; если начала разные, один луч переносят параллельно самому себе к началу другого. Так можно сравнивать направления лучей, даже когда они расположены в разных частях чертежа. Величина такого угла всегда лежит от 0° до 180°: у сонаправленных лучей она равна 0°, а у противоположных — 180°.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Луч — часть прямой, ограниченная началом и бесконечно продолжающаяся в одном направлении. Луч с началом A, проходящий через точку B, обозначают AB; первая буква указывает начало. Такое обозначение помогает отличать луч от прямой и задаёт, в какую сторону он направлен.
Угол между лучами с общим началом — угол, образованный этими лучами. Его величину принимают от 0° до 180°. Это позволяет однозначно выбрать меньший или прямой угол, а не угол, превышающий 180°.
Если начала лучей различны, углом между ними называют угол между лучами, полученными переносом исходных лучей параллельно самим себе к общему началу. Направление каждого луча при таком переносе сохраняется. Это определение позволяет сравнить направления лучей, даже если они расположены в разных местах пространства.
Сонаправленные лучи лежат на параллельных прямых и направлены одинаково. Противоположные лучи имеют общее начало и направлены в разные стороны одной прямой. Эти понятия помогают сразу определить частные значения угла: 0° и 180° соответственно.
Когда начала лучей не совпадают, они не образуют обычный угол непосредственно: у такого угла должна быть общая вершина. Поэтому один луч переносят параллельно самому себе к началу другого. Параллельный перенос смещает луч, но не поворачивает его, а значит, направление остаётся прежним. Именно направления исходных лучей требуется сравнить при определении угла.
После переноса задача сводится к случаю общего начала: вершиной становится начало луча, к которому перенесли второй. Величина полученного угла определяется только направлениями лучей, а не местом их расположения. Поэтому можно выбрать любую удобную точку для переноса: параллельный перенос не меняет направление. Если перенести оба луча к другой общей точке, угол также останется тем же.
Сонаправленные лучи после совмещения начал идут в одну сторону по параллельным прямым. Между их направлениями нет поворота, поэтому угол равен 0°. Противоположные лучи идут по одной прямой в разные стороны: чтобы перейти от одного направления к другому, нужно повернуться на развёрнутый угол, то есть на 180°.
Угол между лучами нельзя автоматически заменять углом между прямыми, на которых они лежат. Прямая не имеет выделенного направления: она продолжается по обе стороны от любой точки. У луча направление есть, и после переноса он может образовать с другим лучом угол, отличный от угла между соответствующими прямыми. Поэтому в задаче нужно следить за тем, куда указывает каждая стрелка или буквы в обозначении луча.
Чтобы определить угол по чертежу, сначала отметь начало и направление каждого луча. Если вершины разные, мысленно или на рисунке перенеси один луч параллельно самому себе к началу другого, не разворачивая его. Затем выбери угол между получившимися лучами от 0° до 180°. Проверь, что рассматриваешь именно указанные направления, а не случайно выбранную пару противоположных направлений.
| Расположение лучей | Как получить общий вершину | Угол между лучами |
|---|---|---|
| Общее начало | Ничего переносить не нужно: лучи уже имеют общую вершину. | Угол, образованный самими лучами; от 0° до 180°. |
| Разные начала | Перенести один луч параллельно самому себе к началу другого. | Угол между перенесённым и исходным лучами при общей вершине. |
| Сонаправленные лучи | Совместить начала, сохранив одинаковое направление. | 0°. |
| Противоположные лучи | У них уже общее начало; лучи идут по одной прямой в разные стороны. | 180°. |
Сначала определи, совпадают ли начала лучей, а затем выбери подходящую строку таблицы. Если нужно переносить луч, следи за его направлением: переносить можно в любое удобное место, но нельзя разворачивать. Для сонаправленных и противоположных лучей значение угла можно определить без измерения.
Задача 1. Два луча имеют общее начало и образуют угол 65°. Определите угол между ними. Здесь вершина уже общая, поэтому дополнительное построение не требуется. Нужно лишь сопоставить данный угол с определением угла между лучами.
Ответ: 65°. Повторно переносить лучи не нужно, поскольку их начала совпадают. Данное в условии значение уже является искомым углом.
Задача 2. Лучи AB и CD не имеют общего начала. При переносе луча CD параллельно самому себе к точке A он образует с лучом AB угол 42°. Найдите угол между исходными лучами. По определению, именно угол между перенесённым лучом и AB при общей вершине измеряет угол между исходными лучами. Важно, что луч CD при переносе не разворачивают.
Ответ: 42°. Перенос не меняет направление CD, поэтому найденная величина относится к исходным лучам. Измерять угол между прямыми AB и CD вместо этого не требуется.
Задача 3. В тетраэдре ABCD найдите угол между лучами AB и DC, если через A проведён луч, сонаправленный с DC, и угол между ним и AB равен 58°. Исходные лучи имеют разные начала, поэтому нужно привести их к общей вершине. Данный луч через A уже выполняет эту роль: он сохраняет направление DC и начинается в точке A.
Ответ: 58°. Сонаправленный луч при A заменяет луч DC в построении угла с общей вершиной. Направление DC учтено, поэтому результат относится именно к лучам AB и DC, а не просто к содержащим их прямым.
Первая ошибка — считать углом между лучами угол между содержащими их прямыми. Так поступают, потому что прямые часто легче сравнивать на рисунке, но при этом теряется направление лучей. Проверка: отметь, куда направлен каждый луч, и только после этого сравнивай получившиеся направления.
Вторая ошибка — перенести луч не параллельно самому себе или развернуть его. Тогда направление меняется, и построенный угол уже не соответствует исходным лучам. Проверь перенос: новый луч должен быть параллелен исходному и смотреть в ту же сторону.
Третья ошибка — выбрать угол больше 180°. Такое может случиться, если на рисунке взять внешнюю часть между лучами вместо принятого угла. Чтобы проверить себя, найди угол от 0° до 180°; именно в этих пределах рассматривают угол между лучами.
Четвёртая ошибка — считать, что любые параллельные лучи образуют 0°. Параллельные прямые могут содержать лучи, направленные как одинаково, так и в разные стороны, поэтому легко спутать сонаправленные лучи с противоположными. Проверь направления: одинаковые дают 0°, а противоположные лучи с общим началом — 180°.
Для этой темы нужны понятия луча и угла, а также умение распознавать параллельные прямые. Особенно важно различать саму прямую и направление луча на ней: одна прямая содержит два противоположных направления. Это помогает правильно переносить лучи и не путать углы.
Определение пригодится, когда нужно находить углы между рёбрами и диагоналями многогранников, например в тетраэдре. Оно также подготавливает к изучению углов между прямыми в пространстве. В таких задачах учёт направлений помогает перейти от пространственного чертежа к удобному углу с общей вершиной.
Зачем переносить один луч, если его начало не совпадает с началом другого?
Чтобы получить общий вершину и рассмотреть обычный угол, образованный двумя лучами. Перенос параллельно самому себе сохраняет направление, поэтому угол отражает исходное взаимное расположение лучей.
Можно ли перенести оба луча, чтобы найти угол между ними?
Да, можно перенести оба луча параллельно самим себе так, чтобы их начала совпали. Направления обоих лучей при этом сохраняются, поэтому величина угла не меняется.
Почему при переносе нужно сохранить направление луча?
Угол между лучами зависит не только от прямых, на которых они лежат, но и от того, куда направлены лучи. Если развернуть луч, получится другое направление и, возможно, другой угол.
Чем угол между лучами отличается от угла между прямыми?
Для прямых направления не учитывают: прямую можно мысленно продолжать в обе стороны. У луча есть конкретное направление от начала, поэтому угол между лучами может отличаться от угла между содержащими их прямыми.
Какой угол образуют сонаправленные и противоположные лучи?
Сонаправленные лучи образуют угол 0°, даже если их начала различны. Противоположные лучи имеют общее начало, лежат на одной прямой и образуют угол 180°.
7.1. Угол между лучами в пространстве
