§ 7. Угол между лучами. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярные прямые

Определения и обозначения

Угол между двумя лучами — наименьший угол, который получают, перенося лучи параллельно самим себе так, чтобы их начала совпали. Такой угол лежит от 0° до 180°: после совмещения начал рассматривают угол между направлениями лучей, а полный оборот и угол больше 180° не выбирают. Определение позволяет сравнить направления лучей, даже если они исходят из разных точек.

Угол между скрещивающимися прямыми — угол между пересекающимися прямыми, параллельными соответственно данным. Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости и не пересекаются, поэтому угол непосредственно измерить нельзя. Замена одной из прямых параллельной ей позволяет свести задачу к привычному углу при пересечении.

Угол между прямыми — меньший из углов, образованных пересекающимися прямыми. Его величина не превышает 90°, потому что соседние углы при пересечении в сумме дают 180°, а меньший из них не больше половины этой суммы. Такое соглашение задаёт единый результат независимо от того, какой из двух направлений прямой придерживаться.

Перпендикулярные прямые — прямые, угол между которыми равен 90°. В пространстве они могут пересекаться или быть скрещивающимися: во втором случае прямой угол определяют через пересекающиеся параллельные представители. Это определение важно для задач, где взаимное положение прямых не позволяет им встретиться.

Как это устроено

Чтобы определить угол между лучами с разными началами, один из них параллельно переносят к началу другого. При параллельном переносе луч не поворачивается, поэтому его направление сохраняется; меняется только положение. Когда начала совпали, два луча образуют обычный угол, и выбирают меньший из возможных при описании направлений, лежащий в пределах от 0° до 180°. Например, если направления образуют угол 120°, именно он и будет углом между лучами.

Для пересекающихся прямых построение уже не требуется: они имеют общую точку, а их угол можно измерить непосредственно. У скрещивающихся прямых общей точки нет, поэтому через точку одной прямой проводят параллельную второй. Теперь представители пересекаются, и угол между ними становится определимым. Можно перенести и другую прямую — существенны направления, а не конкретные места, где расположены исходные прямые.

Угол между прямыми не зависит от выбора точки пересечения представителей. Если взять другую точку на первой прямой и провести через неё параллельную второй, новая прямая сохранит направление прежней параллельной. Параллельный перенос не меняет угол между направлениями, поэтому получится та же величина. Именно это свойство позволяет выбирать удобную точку, например вершину куба, где легче увидеть нужный угол.

Угол между лучами и угол между прямыми — не одно и то же. У луча есть начало и заданное направление, поэтому лучи могут образовать угол, например, 120°. У прямой же два противоположных направления, и при выборе угла между прямыми берут меньший из образованных углов — в этом случае он равен 60°. Перед вычислением проверьте, что именно требуется найти: угол между лучами или между содержащими их прямыми.

Критерий перпендикулярности в пространстве такой же по величине: угол между прямыми должен составлять 90°. Для пересекающихся прямых проверяют прямой угол в точке пересечения. Для скрещивающихся строят через точку одной прямую, параллельную другой, и проверяют угол полученной пары. Если он прямой, исходные скрещивающиеся прямые также перпендикулярны по определению.

Углы между лучами и прямыми в пространстве

Сначала определите, какие объекты даны и пересекаются ли прямые. Затем используйте подходящее построение из таблицы и проверьте, требуется ли угол между лучами или меньший угол между прямыми. Для доказательства перпендикулярности достаточно обосновать, что полученный угол равен 90°.

Разбор задач

Задача 1. Даны два луча с разными началами. Построить угол между ними и определить его величину, если направления лучей образуют угол 120°.

1. Обозначим начала лучей A и B. Перенесём луч с началом B параллельно самому себе так, чтобы его начало оказалось в точке A.
2. При переносе направление луча не меняется, поэтому угол между перенесённым лучом и лучом из A равен углу между исходными направлениями.
3. По условию этот угол равен 120°, что находится в разрешённом для угла между лучами промежутке от 0° до 180°. Значит, выбирать дополнительный угол 240° не нужно.

Ответ: угол между лучами равен 120°.

Задача 2. В кубе найти угол между прямыми, содержащими два заданных ребра, которые не пересекаются.

1. Сначала выясним взаимное положение прямых, содержащих рёбра: если они не параллельны и не пересекаются, то это скрещивающиеся прямые. Сам факт, что рёбра не встречаются, ещё не говорит, что прямые скрещиваются: их продолжения могут пересечься.
2. Через подходящую вершину проведём прямую, параллельную одной из исходных. Выберем вершину так, чтобы эта прямая пересекла вторую исходную прямую или её параллельного представителя.
3. В кубе направления рёбер можно сопоставить с направлениями других рёбер. Используем известные углы между рёбрами: параллельные рёбра имеют одно направление, а смежные рёбра, выходящие из одной вершины, перпендикулярны.
4. Найдём меньший угол между построенными пересекающимися прямыми. Если их направления соответствуют смежным рёбрам, угол равен 90°; если они параллельны, он равен 0°. Конкретное значение зависит от того, какие именно два ребра заданы.

Ответ: определите взаимное положение прямых и сравните направления соответствующих рёбер; без указания конкретной пары рёбер единственное числовое значение получить нельзя.

Задача 3. В пространственной фигуре требуется доказать, что две заданные скрещивающиеся прямые перпендикулярны.

1. Обозначим прямые a и b и выберем точку на a. Через неё проведём прямую b′, параллельную b. Так как a и b скрещиваются, b′ пересекает a.
2. Угол между a и b по определению равен меньшему углу между a и b′. Поэтому достаточно работать с пересекающимися прямыми, а не пытаться измерять угол по произвольным отрезкам скрещивающихся прямых.
3. Используем данные фигуры, чтобы установить, что a перпендикулярна b′: например, покажем, что они параллельны двум перпендикулярным рёбрам или сторонам одной плоской фигуры.
4. Получаем, что угол между a и b′ равен 90°. Следовательно, такой же угол образуют исходные прямые a и b, и они перпендикулярны.

Ответ: построить пересекающуюся параллельную прямую, доказать прямой угол и перенести вывод на исходную пару.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что угол между прямыми может быть больше 90°. Её допускают, когда выбирают любой из четырёх углов при пересечении, не учитывая определение. Проверьте себя: сравните соседние углы и выберите меньший — он не превосходит 90°.

Ошибка: измерять угол между скрещивающимися прямыми по произвольным отрезкам на них. Угол таких отрезков может зависеть от выбранных точек и не отражать направления прямых. Сначала постройте пересекающиеся параллельные представители, а затем измеряйте угол между ними.

Ошибка: путать угол между лучами с углом между содержащими их прямыми. При переходе к прямым направление лучей теряется, поэтому угол, например, 120° между лучами превращается в меньший угол 60° между соответствующими прямыми. Проверьте, есть ли в условии именно лучи и требуется ли учитывать их направления.

Ошибка: считать перпендикулярными только пересекающиеся прямые. Такое представление возникает из чертежей на плоскости, где прямой угол обычно виден в общей точке. В пространстве проверьте угол через пересекающиеся параллельные представители: если он равен 90°, исходные прямые перпендикулярны, даже когда они скрещиваются.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно уметь различать параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые, а также понимать параллельный перенос. Пригодятся свойства измерения углов и факт, что перенос сохраняет направление фигуры. На них основано построение угла для объектов, не имеющих общей точки.

Угол между прямыми служит основой для следующих пространственных понятий. С его помощью определяют перпендикулярность прямой и плоскости, а также изучают углы между прямой и плоскостью и между плоскостями. Во всех этих случаях важно уметь заменить пространственное положение подходящими пересекающимися представителями.

Что запомнить

• Угол между лучами определяют после совмещения их начал параллельным переносом.
• Величина угла между лучами лежит от 0° до 180°.
• Угол между скрещивающимися прямыми находят через пересекающиеся параллельные им прямые.
• Угол между прямыми — меньший из углов, образованных при пересечении их представителей.
• Угол между прямыми не превышает 90°.
• Перпендикулярные прямые образуют угол 90° и могут быть скрещивающимися.