6.2. Параллельные прямые в пространстве

Определения и обозначения

Параллельные прямые в пространстве — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Их обозначают a ∥ b. Условие об одной плоскости обязательно: оно позволяет отличить параллельные прямые от скрещивающихся.

Скрещивающиеся прямые — это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не пересекаются. Их нельзя поместить в одну плоскую фигуру, даже если на чертеже они выглядят почти параллельными. Понятие нужно, чтобы описывать случаи, возможные только в пространстве.

Пересекающиеся прямые имеют ровно одну общую точку и лежат в одной плоскости. Через две такие прямые можно провести плоскость. Это понятие помогает отличить пересечение от простого сближения линий на изображении.

Если прямые совпадают, то у них не просто нет отдельных точек пересечения: это одна и та же прямая. По принятому здесь определению параллельные прямые не пересекаются и не совпадают. Поэтому совпадающие прямые не считают параллельными.

Как это устроено

На плоскости две прямые, которые не пересекаются, параллельны, но в пространстве этого вывода делать нельзя. Например, противоположные рёбра многогранника могут не иметь общей точки и при этом не лежать в одной плоскости. Тогда они скрещиваются. Значит, для проверки нужны два условия: нет пересечения и есть общая плоскость.

Проверяя параллельность, сначала устанавливают, лежат ли обе прямые в одной плоскости, а затем выясняют, имеют ли они общие точки. Если обе проверки дали нужный результат, прямые параллельны. Пересечение исключает параллельность, а отсутствие пересечения без общей плоскости оставляет возможность скрещивания. Так определение превращается в понятный порядок проверки.

Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны друг другу при условии, что рассматриваемые прямые различны. Обоснование связано с единственностью параллельной прямой: через точку вне данной прямой в плоскости можно провести только одну параллельную ей прямую. Если бы две прямые, параллельные общей прямой, пересеклись, через точку пересечения проходили бы две такие параллельные прямые, что невозможно. Поэтому они не пересекаются; поскольку прямые параллельны общей, они лежат с ней в одной плоскости и, следовательно, в одной плоскости друг с другом.

На рисунке куба или параллелепипеда сначала отмечают, какие рёбра принадлежат одной грани: они точно лежат в плоскости этой грани. Если два ребра находятся в разных гранях, это ещё не доказывает, что они скрещиваются: грани могут иметь общую плоскость или сами прямые могут быть параллельны. Удобно проверить, пересекаются ли прямые, а при отсутствии пересечения найти плоскость, которая могла бы содержать обе. Например, если одна из прямых выходит из плоскости основания, а другая лежит в основании, возможная общая плоскость должна проходить через обе.

В доказательстве часто помогает третья прямая. Нужно найти прямую, параллельность которой каждой из данных уже известна, например по свойствам граней или по теореме о средней линии треугольника. Затем применяют признак: две различные прямые, параллельные одной прямой, параллельны друг другу. Так вывод опирается на установленное свойство, а не на внешний вид чертежа.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Сначала выясните, есть ли у прямых общая точка, затем проверьте, можно ли поместить их в одну плоскость. Если общая точка одна, прямые пересекаются; если точек нет и общая плоскость есть, они параллельны. Если точек нет и общей плоскости тоже нет, прямые скрещиваются.

Разбор задач

Прямые AB и CC₁ в кубе ABCDA₁B₁C₁D₁

Условие. Определить взаимное расположение прямых AB и CC₁. Обе прямые являются рёбрами куба, но это само по себе не определяет их взаимное расположение. Нужно проверить пересечение и общую плоскость.

1. Прямая AB лежит в плоскости основания ABCD, а CC₁ пересекает эту плоскость в точке C.
2. Точка C не лежит на AB, поэтому прямые AB и CC₁ не пересекаются.
3. Если бы через AB и CC₁ проходила одна плоскость, она содержала бы AB и точку C, а значит, совпадала бы с плоскостью ABCD. Но CC₁ не лежит в плоскости основания.

Ответ: AB и CC₁ скрещиваются. Одного отсутствия пересечения было бы недостаточно: решающим стало то, что прямые не лежат в одной плоскости.

Две прямые параллельны общей прямой

Условие. Дано: a ∥ c и b ∥ c. Доказать, что a ∥ b, если a и b — различные прямые. Здесь уже известно, что обе прямые параллельны одной прямой, поэтому можно применить признак параллельности.

1. Рассмотрим плоскость, содержащую a и c. Поскольку b параллельна c, через любую точку b можно провести плоскость, содержащую b и c.
2. Так как a и b различны и обе параллельны c, они не могут пересекаться: иначе через точку пересечения проходили бы две различные прямые, параллельные c.
3. Прямые a и b вместе с c лежат в одной плоскости. Следовательно, a и b не пересекаются и компланарны, то есть лежат в одной плоскости.

Ответ: a ∥ b. Условие о различии a и b нужно, чтобы исключить совпадение этих прямых.

Средняя линия тетраэдра

Условие. В тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и AC. Доказать, что MN ∥ BC, а затем определить взаимное расположение MN и плоскости BCD. Понадобятся теорема о средней линии треугольника и расположение плоскостей граней тетраэдра.

1. В треугольнике ABC точки M и N — середины двух сторон AB и AC. По теореме о средней линии MN ∥ BC.
2. Прямая BC лежит в плоскости BCD. Прямая MN лежит в плоскости ABC, а плоскости ABC и BCD пересекаются по BC.
3. MN не пересекает BC, так как параллельна ей, и не лежит в плоскости BCD. Поэтому MN не имеет общих точек с этой плоскостью.

Ответ: MN ∥ BC, а прямая MN параллельна плоскости BCD. Такой вывод сделан не только по рисунку: он следует из параллельности BC и MN и из того, что BC лежит в плоскости BCD.

Типичные ошибки

Ошибка — считать любые непересекающиеся прямые параллельными. Её допускают, перенося на пространство привычное свойство плоскости. Проверьте, можно ли провести через обе прямые одну плоскость: если нельзя, они скрещиваются.

Совпадающие прямые иногда принимают за параллельные, потому что у них нет единственной точки пересечения. Но они имеют бесконечно много общих точек и представляют собой одну линию, тогда как параллельные по принятому определению не имеют общих точек. Проверьте, являются ли это двумя различными прямыми.

Нельзя доказывать параллельность только по изображению: перспективный чертёж может искажать углы и расстояния, а линии могут казаться параллельными случайно. Такая ошибка возникает, когда внешний вид подменяет геометрическое обоснование. Проверьте условия определения или примените известную теорему.

Признак параллельности прямых нельзя применять, не проверив, что рассматриваемые прямые различны. Если две прямые совпадают, заключение «параллельны» не соответствует определению через отсутствие общих точек. Перед применением признака явно установите различие прямых или отдельно исключите их совпадение.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определения параллельных и пересекающихся прямых на плоскости, а также свойства прямых и плоскостей в пространстве. Они помогают понять, почему условие об общей плоскости обязательно и как обосновать взаимное расположение линий. Позже эти знания используют при изучении параллельности прямой и плоскости, а также параллельности плоскостей. Они пригодятся и в задачах о многогранниках, где нужно доказывать отношения между рёбрами и гранями.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• В пространстве непересечение прямых ещё не означает их параллельность.
• Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной.
• Две прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны друг другу.
• Взаимное расположение прямых определяют по их пересечению и возможности провести через них одну плоскость.